Υπολογισμοί μεγάλης κλίμακας σε παράλληλες αρχιτεκτονικές με χρήση μεθόδων διαχωρισμού χωρίου

Abstract

Η μεγάλη διαθεσιμότητα των παράλληλων υπολογιστών και οι προοπτικές χρήσης τους για αριθμητική επίλυση μεγάλης κλίμακας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους έχει οδηγήσει σε εκτεταμένη έρευνα στον τομέα των μεθόδων διαχωρισμού χωρίου.

Στην εργασία αυτή επιχειρήθηκε η χρήση της επαναληπτικής μεθόδου Alternating Schwarz σε συνδυασμό με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση ενός απλού προβλήματος αγωγής θερμότητας σε πτερύγιο. Στα πλαίσια της εργασίας αναπτύχθηκε κώδικας σε γλώσσα Fortran 90 και με χρήση της συστοιχίας Pegasus της σχολής Χημικών Μηχανικών ΕΜΠ εξετάζονται οι χρόνοι επίλυσης και η παράλληλη επιτάχυνση του κώδικα. Διαπιστώνεται μεγάλο πλήθος επαναλήψεων της μεθόδου και προτείνεται η στροφή σε άλλους μεθόδους διαχωρισμού χωρίου.

Παράλληλα αναπτύχθηκε κώδικας που να υλοποιεί σειριακά τον αλγόριθμο της Alternating Schwarz, με τον οποίο επιτεύχθηκε σημαντική μείωση της απαίτησης σε μνήμη σε σχέση με τον απλό κώδικα πεπερασμένων στοιχείων. Ο κώδικας αυτός είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για οικονομικότερη επίλυση προβλημάτων πεπερασμένων στοιχείων μεγάλου μεγέθους σε έναν επεξεργαστή.

Large-scale computational problems arising from the discretization of partial differential equations are solved most efficiently on high-performance computer clusters by means of numerical methods which exploit today’s parallel computer architectures. Among the most promising ones are the Domain Decomposition Methods, which distribute, on a spatial basis, the computational load to the computer processors.

In this thesis the iterative method Alternating Schwarz was used in conjunction with the Finite Element Method for the solution of a simple, two-dimensional heat conduction problem. The calculations were programmed in Fortran 90 and performed on the cluster “Pegasus” of the Chemical Engineering School of NTUA. The reported results include the computer time required for the solution, the parallel speedup achieved along with the dependence of the number of iterations required for convergence in connection with the size of the computational problem. The results reveal advantages and disadvantages of the implemented method and are suggestive of modifications that need to be done.

In addition, a sequential code was developed which implements the Alternating Schwarz. Significant reduction in memory requirements was achieved compared to the simple Finite Element Method code. This code is a useful tool for economical (in terms of memory usage) solution of large finite element problems on a single processor.