Ελαστοπλαστική ανάλυση ραβδωτών φορέων με χαλάρωση υλικού

Abstract

Η παρούσα μεταπτυχιακή εργασία πραγματεύεται την ελαστοπλαστική ανάλυση ραβδωτών φορέων με χαλάρωση υλικού και τη μελέτη της συμπεριφοράς τους. Συγκεκριμένα, κατ’ αρχήν εξετάζονται σε θεωρητικό επίπεδο, οι βασικές αρχές της πλαστικής ανάλυσης και ειδικότερα, ο τρόπος με τον οποίο ο γραμμικός προγραμματισμός μπορεί να εφαρμοστεί σε θέματα οριακής ανάλυσης και να αποτελέσει ένα χρήσιμο εργαλείο για την εξαγωγή αποτελεσμάτων με μεγάλη ακρίβεια. Η θεωρητική ανάλυση υποστηρίζεται από αριθμητικές εφαρμογές, με χρήση λογιστικών φύλλων Excel αλλά και ανάπτυξη κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού Matlab. Σε όλα τα παραδείγματα αυτής της ενότητας, υιοθετείται ελαστική – απόλυτα πλαστική συμπεριφορά υλικού και εξετάζονται πλαισιωτοί φορείς. Μελετάται η καθαρά καμπτική συμπεριφορά των φορέων και επίσης, η επιρροή της αλληλεπίδρασης των αξονικών δυνάμεων, είτε μέσω της ακριβούς μη γραμμικής σχέσης της επιφάνειας διαρροής των Masonet & Save (κατάλληλη για μεταλλικές κατασκευές), είτε με προσεγγιστικά γραμμικοποιημένα μοντέλα. Στην επόμενη ενότητα της εργασίας, αναλύεται, καταρχήν σε θεωρητικό επίπεδο, η έννοια της γραμμικής συμπληρωματικότητας (Linear Complementarity Problem). Ειδικότερα, επεξηγείται η δομή του προβλήματος, εξετάζεται η μεγάλη σημασία του σε θέματα μαθηματικού προγραμματισμού και παρουσιάζονται ορισμένες από τις σημαντικότερες εφαρμογές του στον τομέα του Πολιτικού Μηχανικού αλλά και των οικονομικών επιστημών. Κατόπιν αναπτύσσεται η θεωρητική έννοια της χαλάρωσης του υλικού (softening) και το πώς μπορεί να επιλυθεί ένα πρόβλημα ελαστοπλαστικής ανάλυσης σε ραβδωτούς φορείς που χαρακτηρίζονται από μια τέτοια συμπεριφορά, με τη χρήση του μαθηματικού προγραμματισμού και κυρίως μέσω της γραμμικής συμπληρωματικότητας. Με βάση τα ανωτέρω, αναπτύχθηκε κώδικας στη γλώσσα προγραμματισμού Matlab, o οποίος μπορεί να διεξάγει μια ελαστοπλαστική ανάλυση σε ραβδωτούς φορείς με χαλάρωση υλικού. Ακολουθούν αριθμητικά παραδείγματα, τα οποία παρουσιάζουν κλιμακούμενη δυσκολία (από το απλό θεωρητικό παράδειγμα μιας αμφίπακτης δοκού, σε ένα πλαίσιο τριών ανοιγμάτων και πέντε ορόφων με παρουσία έκκεντρων συνδέσμων δυσκαμψίας). Ο στόχος είναι να εξαχθούν διαγράμματα δύναμης – μετατόπισης και να γίνει σύγκριση στις παρακάτω συμπεριφορές της κατασκευής: Α) Ελαστική – απόλυτα πλαστική συμπεριφορά (elastic – perfectly plastic) Β) Καθαρά καμπτική συμπεριφορά με χαλάρωση υλικού (pure bending and softening) Γ) Αλληλεπίδραση αξονικής δύναμης και χαλάρωση υλικού (interaction and softening) Στην τελευταία ενότητα της εργασίας, εξετάζονται, αρχικά σε θεωρητικό επίπεδο, οι διαφοροποιήσεις του προβλήματος εάν πρέπει να ληφθεί υπόψη και η γεωμετρική μη γραμμικότητα και τα φαινόμενα 2ας τάξης. Αναπτύχθηκε και πάλι ένας τροποποιημένος κώδικας στη γλώσσα προγραμματισμού Matlab, ο οποίος προβλέπει και την παρουσία γεωμετρικών μη γραμμικοτήτων. Τα αριθμητικά παραδείγματα που ακολουθούν είναι τα ίδια με αυτά της προηγούμενης ενότητας, ώστε να επιτευχθεί η σύγκριση των αποτελεσμάτων και να διερευνηθεί το μέγεθος της επίδρασης των φαινομένων δευτέρας τάξης στη συνολική συμπεριφορά του φορέα. Η σύγκριση των αναλύσεων γίνεται στη γενική περίπτωση της αλληλεπίδρασης αξονικής δύναμης με χαλάρωση υλικού. Από τα αποτελέσματα των εφαρμογών σε όλες τις ενότητες τις εργασίας, προέκυψαν συμπεράσματα τα οποία αναλύονται στο κείμενο που ακολουθεί, καθώς και σκέψεις για μελλοντική έρευνα που μπορεί να γίνει στο πεδίο αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας.

The current master thesis explores the elastoplastic analysis of frame structures with softening and the characteristics of their behavior. Firstly, the basic principles of plastic analysis are examined and especially the applications of linear programming at limit analysis and how it can become a useful tool for the extraction of highly accurate results. The theoretical presentation is supported through some numeric applications, with the use of EXCEL spreadsheets and also the development of a program code at the programming language MATLAB. In all the examples of that part, an elastic – perfectly plastic behavior is adopted and exclusively frame structures are analyzed. The pure bending behavior and the interaction of axial forces through the exact non – linear relationship of Massonet & Save (suitable for steel structures) or through approximate linearized yield surfaces is examined. At the next part of this thesis, the theoretical background of linear complementarity problem is explained. More specifically, the thesis focus on the problem’s structure (LCP) and its great importance in the field of mathematical programming. In addition, some of the applications of that problem to the science of civil engineer and also to the area of economics are discussed. Finally, the concept of softening is developed and special attention is paid to the formulation of a problem of elastoplastic analysis at softening structures using mathematical programming and the principles of the linear complementarity problem. Based on the above theoretical analysis, a program code at MATLAB was developed in order to analyze such softening frames. Some numeric applications follow which are categorized by their complexity (beginning from the simple example of a simple double clamped beam and concluding to the more complex application of a three bay and five storey eccentrically braced frame). The target is to extract force – displacement diagrams and to make a comparison to the following structural behaviors: A) Elastic – perfectly plastic behavior B) Pure bending and softening C) Interaction of axial forces and softening At the last part of the thesis the differentiations of the above problem including second order effects are traced. A verified program code using MATLAB was developed, whose main characteristic is to embody the influence of such geometric non-linearity during the structural analysis. The numeric examples that follow are exactly the same with those of the previous chapter, because it was considered important to compare the results and explore the influence of such phenomena to the overall response of the frames. The comparison of the results takes place at the general case of interaction and softening. The results of the applications in this thesis lead to some important conclusions that are referred to the last chapter. Finally, some thoughts for future research in the field of this thesis are expressed.