Monte Carlo μέθοδοι στα Χρηματοοικονομικά

Abstract

Στα πλαίσια του μοντέλου Black-Scholes υπολογίζεται άμεσα η θεωρητική τιμή ευρωπαϊκών δι- καιωμάτων προαίρεσης, στα οποία η εξάσκηση πραγματοποιείται μονάχα κατά την ωρίμανση τους. Σε αντίθεση, οι κάτοχοι δικαιωμάτων αμερικανικού τύπου, έχουν τη δυνατότητα εξάσκησης σε οποιαδήποτε στιγμή πρωτύτερη της λήξης. Η πολυπλοκότητα αυτή καθιστά αδύνατη τη θεωρητική τιμολόγηση τους, στα πλαίσια του στοχαστικού λογισμού, μέσω κλειστών τύπων. Η κλασσικότερη τεχνική για την τιμολόγηση τους θεμελιώνεται μέσω της θεωρίας των μερικών διαφορικών εξισώσεων και αξιοποιεί αριθμητικές τεχνικές, όπως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων, για τον προσδιορισμό αποτελεσμάτων. Μία πιο σύγχρονη αντιμετώπιση βασίζεται στις στατιστικές τεχνικές προσομοιώσεις τύπου Monte Carlo. Το πρόβλημα τιμολόγησης μοντελο- ποιείται ως ένα πρόβλημα βέλτιστης διακοπής (optimal stopping). Η διακοπή αφορά τη βέλτιστη στιγμή εξάσκησης του δικαιώματος, της οποίας ο προσδιορισμός, καθιστά στη συνέχεια την επίλυση του προβλήματος τετριμμένη. Το δυϊκό πρόβλημα της βέλτιστης διακοπής είναι ο προσ- διορισμός της βέλτιστης στρατηγικής, ενός κανόνα δηλαδή που θα μαρτυρά στον επενδυτή για το αν η παρούσα κατάσταση της οικονομίας καθιστά την εξάσκηση του δικαιώματος βέλτιστη. Αν ο επενδυτής κατέχει εκ των προτέρων τη γνώση για την πορεία της οικονομίας, η βέλτιστη στρατηγική προσδιορίζεται αλγοριθμικά, επιλύοντας ένα πρόβλημα δυναμικού προγραμματισμού. Στην εργασία παρουσιάζονται τεχνικές προσομοίωσης για την προσέγγισης της γνώσης αυτής, καθώς και τα στοιχεία πιθανοτήτων που είναι απαραίτητα για την βασική κατανόηση της θεωρητικής τους θεμελίωσης.

After a small introduction in probability theory, several methods for simulating brownian motions are presented. Pricing european and american options using monte carlo methods.