Η συνεχής συζυγής μέθοδος για περιοδικές ροές. Εφαρμογή στο βέλτιστο έλεγχο έκλυσης στροβίλων γύρω από κύλινδρο

Abstract

Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η εφαρμογή της συνεχούς συζυγούς μεθόδου (continuous adjoint method) για τον ενεργητικό έλεγχο (active flow control) περιοδικής, στρωτής ροής ασυμπίεστου ρευστού γύρω από κύλινδρο, με στόχο την ελαχιστοποίηση των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτόν, εξαιτίας της εμφάνισης των στροβίλων von Karman.

Οι συζυγείς μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση της κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης, όπου η τελευταία εκφράζει τη χρονικά μέση τιμή του τετραγώνου των δυνάμεων, ως προς τις μεταβλητές σχεδιασμού. Ο ενεργητικός έλεγχος της ροής επιτυγχάνεται με δέσμες έγχυσης ή αναρρόφησης ρευστού (jets), οι οποίες τοποθε- τούνται σε ισαπέχουσες θέσεις σε όλη την περιφέρεια του κυλίνδρου. Οι παράμετροι της ταχύτητας κάθε δέσμης, δηλαδή το πλάτος ταλάντωσης, η φάση και η συχνότητα, αποτελούν και τις μεταβλητές σχεδιασμού του προβλήματος βελτιστοποίησης.

Οι συνεχείς συζυγείς εξισώσεις, οι οριακές συνθήκες και οι παράγωγοι ευαισθησίας προκύπτουν από την παραγώγιση της συνάρτησης κόστους επαυξημένης με το χωρικό, σε όλο το πεδίο, και το χρονικό, σε μια περίοδο του φαινομένου, ολοκλήρωμα του γινομένου των εξισώσεων κατάστασης (Navier-Stokes) και των συζυγών μεταβλητών. Οι συζυγείς εξισώσεις διακριτοποιούνται και επιλύονται με τις αντίστοιχες οριακές συνθήκες και έτσι προκύπτει το πεδίο τω συζυγών μεταβλητών. Έπειτα υπολογίζεται η παράγωγος ευαισθησίας για κάθε μεταβλητή σχεδιασμού, με βάση την οποία αυτή ανανεώνεται, σύμφωνα με τη μέθοδο της απότομης καθόδου.

Στην εργασία αυτή, χρησιμοποιούνται δύο συναρτήσεις κόστους, που αφορούν στη μέση τιμή, σε εύρος μιας περιόδου του φαινομένου, του τετραγώνου κάθε δύναμης, της άνωσης ή της οπισθέλκουσας κατά περίπτωση. Για κάθε συνάρτηση κόστους μελετώνται δύο περιπτώσεις συνδιασμών μεταβλητών σχεδιασμού, όπου στην πρώτη μεταβάλλονται τα πλάτη ταλάντωσης και στη δεύτερη τα πλάτη ταλάντωσης και οι φάσεις των δεσμών ρευστού. Με το πέρας των κύκλων βελτιστοποίησης εξάγονται συμπεράσματα για την επίδραση που έχει το πλάτος ταλάντωσης και η φάση κάθε δέσμης στο βέλτιστο έλεγχο της ροής.

Κατά τη διατύπωση της συνεχούς συζυγούς μεθόδου εμφανίζονται όροι οι οποίοι εξαρτώνται της χρονικής στιγμής αφετηρίας υπολογισμού του χρονικού ολοκληρώματος της αντικειμενικής συνάρτησης, κάτι που οφείεται στο ότι με την επίδραση των δεσμών ρευστού η περίοδος του φαινομένου ταυτίζεται με την περίοδο των jets που αποτελεί μεταβλητή σχεδιασμού. Έτσι,λοιπόν, εξετάζεται η εξάρτηση που έχει η παράγωγος ευαισθησίας ως προς τη συχνότητα, μέσω της εφαρμογής της συνεχούς συζυγούς μεθόδου σε μονοδιάστατο πρόβλημα υποθετικής περιοδικής ροής με αναλυτική λύση, όπου η περίοδός της αποτελεί και αυτή μεταβλητή σχεδιασμού. Aπό αυτήν την ανάλυση προκύπτουν συμπεράσματα για τη συμπεριφορά της παραγώγου ευαισθησίας ως προς τη συχνότητα για περιπτώσεις περιοδικών ροών, που η περίοδος αποτελεί μεταβλητή σχεδιασμού.

This diploma thesis aims at the adaptation and use of continuous adjoint methods for the active flow control of a periodic, laminar and incompressible flow around a cylinder. The purpose of flow control is the minimization of the forces that act on the cylinder, caused by the induced vortices, also known as, the von Karman vortices.

The adjoint method is used to compute the derivatives of the objective function which, in this case, is the mean square of the forces acting on the cylinder, with respect to the design variables. Active flow control is implemented via pulsating jets, which are equidistributed across the whole surface of the cylinder. The jet velocity parameters, which are the amplitude, phase and frequency, constitute the design variables. The continuous adjoint equations, the corresponding boundary conditions and the sensitivity derivatives are derived with the use of the objective function, augmented with the field and time integral of the product of the state equations (Navier-Stokes) with the time dependent adjoint variables, during a period of the phenomenon. The adjoint equations are discretized and solved together with the corresponding boundary conditions to determine the field of the adjoint variables and, through them, the sensitivity derivatives of the problem. Then, the value of each design variable is updated with the use of its sensitivity derivative, accordingly to the steepest decent method.

The objective functions used in this diploma thesis are the mean square of lift or drag acting on the cylinder, during a period of the phenomenon. For each force and, thus, objective function, two cases are studied. In the first one, only the amplitude of each jet is free to change while, in the second case, both amplitude and phase of each jet are considered as design variables. After the completion of the optimization cycles, conclusions can be drawn about the effect that amplitude and phase of each jet have in the optimal flow control.

When the jets act on the cylinder, the period of the phenomenon becomes equal to the period of the jets. In the continuous adjoint formulation, this leads to the derivation of terms that depend on the limits of the time integral of the objective function. This dependency is studied by virtue of the adaptation of the continuous adjoint method to a hypothetical, one-dimensional periodic flow problem, where the period is also a design variable. Useful conclusions are drawn about the behaviour of the sensitivity derivative with respect to the period.