Ακέραιος Προγραμματισμός και Εφαρμογές

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται μια παρουσίαση προβλημάτων και εφαρμογών Ακέραιου προγραμματισμού και των κυριότερων μεθόδων επίλυσης τους (Branch and Bound και Cutting planes). Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μια εισαγωγή στον επιστημονικό κλάδο της Επιχειρησιακής Έρευνας, παρουσιάζοντας ιστορικά στοιχεία σε συνδυασμό με την σύνδεση της στην σύγχρονη έρευνα. Στην συνέχεια, στο Κεφάλαιο 2 μελετάμε το αντικείμενο του Γραμμικού Προγραμματισμού (Linear Programming) και έπειτα στο Κεφάλαιο 3 επικεντρωνόμαστε στον Ακέραιο Προγραμματισμό (Integer Programming). Παρουσιάζονται εφαρμογές, τυπικά προβλήματα, καθώς και εργαλεία επίλυσης τους. Στο Κεφάλαιο 4, παρουσιάζεται ο ιδιαίτερα σημαντικός αλγόριθμος Simplex, ο οποίος χρησιμοποιείται για την επίλυση των προβλημάτων γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται αναλυτικά η πρώτη μέθοδος επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού, η μέθοδος Branch and Bound (B&B) ενώ στο Κεφάλαιο 6, η μέθοδος Cutting planes (γραφική και αλγεβρική μορφή). Τέλος, στο Κεφάλαιο 7 παρουσιάζονται δυο προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού με σκοπό την εφαρμογή των άνω μεθόδων αλλά και την κατανόησή τους χρησιμοποιώντας ρεαλιστικά δεδομένα.

This dissertation is a study about Integer Programming, displaying important problems and methods, using the most known of them (Branch and Bound, Cutting Planes). In Chapter 1, there is an introduction to Operational Research, its historical roots and its significance in modern science. In Chapter 2, we present the idea of Linear Programming (LP) analyzing the assumptions, the mathematical models etc. Next (chapter 3) we see the main subject of this thesis, Integer Programming (IP) and its applications. Typical IP problems and case studies are presented along with methods of solving them. In Chapter 4 we present the Simplex method and algorithm, which is the most important tool for dealing with LP and ILP problems. In Chapter 5 and 6, we target in showing the two most known and important methods of solving IP problems, Branch and Bound and Cutting planes algorithm. We provide several examples for different problems of IP. Finally, in Chapter 7 we solve two actual problems of Integer Programming in order to demonstrate how the above methods function in real life problems.