Μελέτη Προβλημάτων Ηλεκτροελαστικότητας

Abstract

Σκοπός αυτής της μεταπτυχιακής εργασίας είναι η μελέτη ορισμένων προβλημάτων της μηχανικής συζευγμένων ελαστικών και ηλεκτρικών πεδίων (ηλεκτροελαστικότητας) σε πιεζοηλεκτρικά μέσα με τη μέθοδο των συνοριακών ολοκληρωτικών εξισώσεων (method of boundary integral equations – mbie). Η προσέγγιση αυτή βασίζεται στην αναπαράσταση των εσωτερικών ποσοτήτων (ποσότητες στο εσωτερικό του σώματος) από ολοκληρώματα στο σύνορο αυτού , τα τελευταία είναι οι συνελίξεις ορισμένων ‘’πυκνοτήτων’’ (συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν) . Οι ‘’πυκνότητες’’ στις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις των λύσεων είναι έγκυρες μόνο στο σύνορο και το πρόβλημα του προσδιορισμού τους έχει μία λιγότερη διάσταση σε σχέση με το αρχικό συνοριακό πρόβλημα . Η αντικατάσταση των οριακών τιμών των λύσεων στις συνοριακές συνθήκες καταλήγει σε συνοριακές ολοκληρωτικές εξισώσεις με αγνώστους τις ‘’πυκνότητες’’ . Η παραπάνω προσέγγιση περιέχει τα εξής βασικά βήματα: 1) την κατασκευή των θεμελιωδών λύσεων των αντίστοιχων εξισώσεων της ηλεκτροελαστικότητας, 2) την εξαγωγή των ολοκληρωτικών αναπαραστάσεων των λύσεων, 3) την αναγωγή των τελευταίων σε σύστημα ιδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων, 4) την αριθμητική επίλυση των τελευταίων (δεν ασχολούμαστε με αυτό το βήμα σε αυτήν την εργασία). Επίσης ασχολούμαστε και με αρμονικές ως προς τον χρόνο δονήσεις (ελεύθερες και εξαναγκασμένες) πολωμένων πιεζοηλεκτρικών πλακών που χρησιμοποιούνται σε πολλές πιεζοηλεκτρικές συσκευές.

The purpose of this thesis is to study certain problems of mechanic of coupled electric and elastic fields (electroelasticity) in piezoelectric media with the method of boundary integral equations (mbie). This approach is based on the representation of the inner field quantities (quantities inside the body) by integrals over the boundary areas which are the convolutions of some ‘’densities’’ (functions to be determined) with definite differential operators that are functions of the fundamental solutions of the corresponding equations. The ‘’densities’’ in the integral representations of the solutions are valid only in the boundary area and therefore the problem of their determination has one less dimension than the initial boundary problem. The substitution of the limiting values of the solutions into the boundary conditions brings to boundary integral equations with respect to the ‘’densities’’. The proposed approach contains the following principal components: 1) the construction of the fundamental solutions of the corresponding equations of electroelasticity, 2) the derivation of the integral representations of the boundary problems solutions, 3) the reduction of the latter to the system of singular integral equations, 4) an approximate numerical solution of the obtained equations (with the last step will not deal in this thesis). Also dealing with armonics with time vibrations (free and forced) of polarized piezoelectric plates used in many piezoelectric devices.