Το αντιεπίπεδο πρόβλημα της κυκλικής ανομοιογένειας με τέλεια και ατελή διεπιφάνεια στην ελαστικότητα Cosserat

Abstract

Στα πλαίσια της ελαστικότητας Cosserat, μελετάται το αντιεπίπεδο ελαστικό πρόβλημα μιας ελαστικής ανομοιογένειας που είναι ένθετη σε μια ελαστική μήτρα, για τέλεια και ατελή διεπιφανειακή σύνδεση των δύο υλικών. Η ανομοιογένεια είναι κυλινδρικής μορφής με κυκλική διατομή, ενώ η μήτρα που την περιβάλλει έχει διαφορετικές ελαστικές ιδιότητες από την ανομοιογένεια και εκτείνεται στο άπειρο. Στην παρούσα εργασία, για την προσομοίωση της ατελούς σύνδεσης των δύο υλικών εισάγεται ένα νέο μοντέλο που αποτελεί την επέκταση του ελατηριακού μοντέλου της κλασσικής ελαστικότητας, στην ελαστικότητα Cosserat. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, η διεπιφανειακή σύνδεση των δύο υλικών περιγράφεται με ελατήρια δύναμης και ροπής που είναι διανεμημένα στην διεπιφάνεια και έχουν αμελητέο πάχος. Με βάση το μοντέλο της τέλειας διεπιφάνειας, και το μοντέλο της ατελούς διεπιφάνειας που εισάχθηκε στην παρούσα εργασία, επιλύθηκαν τα σχετικά αντιεπίπεδα ελαστικά προβλήματα, για μια ομοιόμορφη φόρτιση διατμητικών τάσεων στο άπειρο σύνορο της μήτρας. Με βάση τα ελαστικά πεδία που αποκτήθηκαν διερευνήθηκε η επίδραση των χαρακτηριστικών μηκών μικροδομής των δύο υλικών πάνω στην συγκέντρωση τάσης στην διεπιφάνεια. Για τους δύο τύπους διεπιφανειακών συνθηκών που προαναφέρθηκαν, δείχθηκε ότι η μέγιστη εφαπτομενική διατμητική τάση εμφανίζεται στην μήτρα για την περίπτωση της μαλακής ανομοιογένειας, και στην ανομοιογένεια, για την περίπτωση της σκληρής ανομοιογένειας. Η μέγιστη συγκέντρωση τάσεων στην διεπιφάνεια αντιστοιχεί στην οριακή περίπτωση που τα δύο υλικά προσεγγίζουν την συμπεριφορά υλικών Cauchy. Με την αύξηση των χαρακτηριστικών μηκών μικροδομής των δύο υλικών, η συγκέντρωση των διεπιφανειακών τάσεων μειώνεται έχοντας ένα κάτω φράγμα, που αντιστοιχεί στο 60 % της παραπάνω μέγιστης συγκέντρωσης. Δείχθηκε επίσης ότι ο σχηματισμός μιας ελατηριακής διεπιφάνειας σε ένα διυλικό επιφέρει πάντα αύξηση της συγκέντρωσης των διεπιφανειακών τάσεων.

In the context of Cosserat elasticity, the anti-plane elasticity problem of a circular inhomogeneity embedded in an infinite matrix is studied for both perfect and imperfect interface bonding of the constituent materials. The inhomogeneity is a cylinder of circular cross-section, while the surrounding matrix is extended to infinity. In the current work, the imperfect interface bonding is simulated by introducing a new interface model, which constitutes the extension of the spring-type interfacial model of classical elasticity to Cosserat elasticity. According to this model, the interface bonding is described by force and couple springs of vanishing thickness distributed over the interface surface. Based on this model, the relative anti-plane elasticity problems are analyzed for a remote shear stress in the matrix. The elastic fields obtained are used to investigate the influence of the characteristic lengths of the constituent materials on the stress concentration in the vicinity of interface. The numerical results show that the maximum interface tangential shear stress appears in the matrix in the case of a soft interface, and in the inhomogeneity in the case of a hard interface. Also, the results show that the formation of a spring- type interface in a composite material consisting of Cosserat materials always increases the stress concentration in the vicinity of interface