Θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων και εφαρμογες

Abstract

Η θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων συνίσταται στην εκτίμηση σπανίων ενδεχομένων- ενδεχομένων δηλαδή που αποκλίνουν από την τυπική συμπεριφορά στο στο θεωρούμενο χώρο πιθανότητας. Ο ισχυρός νόμος των μεγάλων αριθμών μας δίνει ένα παράδειγμνα τυπικής συμπεριφοράς. Φυσικά το να μελετά κανείς την πιθανότητα σπανίων ενδεχομένων θέτει τα πράγματα σε πολύ γενικό πλαίσιο. 'Ετσι από τη μια μεν η θεωρία των μεγάλων αποκλίσεων βρίσκει εφαρμογές σε περιοχές τόσο διαφορετικές μεταξύ τους όσο η Στατιστική, Χρηματοοικονομικά, Τηλεπικοινωνίες, από την άλλη όμως συχνά χρειάζεται κανείς να καταφύγει σε ειδικές για το εκάστοτε πρόβλημα μεθόδους. Στην παρούσα εργασία θα προσπαθήσουμε να δώσουμε παραδείγματα ώστε να αναδείξουμε τισ κεντρικές ιδέες και τεχνικές της θεωρίας των μεγάλων αποκλίσεων.

The subject of Large Deviations studies the estimation of rare events. Large deviations is going back to the early 1930s. It in fact started in Scandinavia, with actuaries working for the insurance industry. The pioneer who started that subject was named Esscher. He was interested in a situation where too many claims could be made against the insurance company. He wanted to calculate the probability of the total claim amount exceeding the reserve fund set aside for paying these claims. So large deviations provides us a formula to estimate tail probabilities. Central Limit Theorem states that the distribution of sums of independent random variables has a Gaussian approximation. However, the error is measured in terms of difference. Both these numbers are very small, therefore the difference between them is small. But, we are interested in how small it is; we are interested in the ratio of these two things, not just the difference of these small numbers. The idea is: how one can shift ones focus so that we can look at the ratio rather than just at the difference. Esscher came up with this idea that is called Esscher"s tilt. It is a way of changing the measure. And from this point of view what was originally considered as a tail event now becomes a central event. Tail events or rare events are events with very small probability, but we would like to have some idea of how small it is. We would like to measure it in logarithmic scale. The main target of the current thesis is to study the central ideas of Large Deviations theory.