Γεωδαιτικές Ενεργές Καμπύλες σε Αυθαίρετους Γράφους

Abstract

Το επιστημονικό πεδίο της Όρασης Υπολογιστών έχει δώσει πληθώρα τεχνικών για την αυτόματη κατάτμηση εικόνων και την ανίχνευση των κύριων αντικειμένων τους, μεταξύ των οποίων περίοπτη θέση κατέχουν οι γεωδαιτικές ενεργές καμπύλες. Πολύ πρόσφατα, το πλαίσιο εργασίας των γεωδαιτικών ενεργών καμπυλών μεταφέρθηκε στην περίπτωση αυθαίρετων γεωμετρικών γράφων, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη γενικότητα σε σχέση με τις συμβατικές εικόνες λόγω της απουσίας περιορισμών στη χωρική δομή τους. Δημιουργήθηκε λοιπόν μέσω ορισμένων προσεγγίσεων μια μέθοδος βασισμένη σε ιδέες της Όρασης Υπολογιστών για κατάτμηση γράφων. Αυτή η γενικότητα όμως της δομής των γράφων φάνηκε να δυσχεραίνει τη σύγκλιση του αλγορίθμου, η οποία εξαρτάται σημαντικά από την ποιότητα των προσεγγίσεων των συνεχών τελεστών πάνω στη διακριτή γραφοθεωρητική δομή. Με την παρούσα εργασία, επιχειρούμε να θεμελιώσουμε νέες, καλύτερα τεκμηριωμένες προσεγγίσεις για κάθε όρο του μοντέλου των γεωδαιτικών ενεργών καμπυλών πάνω σε γράφους, ώστε να προσδώσουμε εξασφαλισμένη σύγκλιση στο επαναληπτικό σχήμα του αλγορίθμου. Η μελέτη μας εστιάζεται αφενός στον όρο κλίσης, τόσο στο μέτρο όσο και στην κατεύθυνσή του, και αφετέρου στον όρο καμπυλότητας. Προτείνουμε καινούργιες μεθόδους υπολογισμού τους και επαληθεύουμε τη σύγκλιση αυτών αναλύοντας την ασυμπτωτική συμπεριφορά των αντίστοιχων σφαλμάτων. Εισάγεται το φιλτράρισμα εξομάλυνσης των προσεγγίσεων για τη βελτίωση της ακρίβειάς τους. Επιπρόσθετα, μεταχειριζόμαστε προσεκτικά τον υπολογισμό των μεγεθών που περιλαμβάνονται στην αρχικοποίηση του αλγορίθμου. Σε όλες τις περιπτώσεις, δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην ακριβή αποτύπωση των συνεχών αναλόγων μέσω των διακριτών προσεγγίσεων. Η επίδραση των παραμέτρων του αλγορίθμου στην επίδοσή του αναλύεται πειραματικά και παρουσιάζονται οι διαφορές στην ποιότητα των αποτελεσμάτων ανάλογα με τον τρόπο δημιουργίας των γράφων.

The scientific field of Computer Vision has given an abundance of techniques for automatic segmentation of images and detection of their main objects, among which geodesic active contours stand out. The geodesic active contour framework has very recently been applied to the case of arbitrary geometric graphs, which have greater generality than regular images due to the absence of constraints in their spatial structure. This led to the creation of a method for graph segmentation based on Computer Vision concepts. However, the aforementioned generality in the structure of the graphs seemed to impede the algorithm's proper convergence, which depends to a great extent on the quality of the continuous operators' approximations based on the discrete graph-theoretic structure. In this thesis, we attempt to establish new, better justified approximations for every term of the geodesic active contours' model on graphs, in order to ensure the convergence of the algorithm's iterative scheme. Our study focuses on the gradient term, both its magnitude and its direction, and the curvature term. We propose novel methods for their calculation and confirm their convergence by analyzing the asymptotic behavior of the respective errors. Smoothing filtering of the approximations is introduced to improve their accuracy. Additionally, we treat the calculation of magnitudes related to the initialization of the algorithm very carefully. In all cases, great emphasis is put on the accurate transition from the continuous analogs to the discrete approximations. The effect of the algorithm's parameters on its performance is analyzed experimentally and the differences in the quality of the results between graphs with different formation methods are depicted.