Διατμητικές Τάσεις λόγω Στρέβλωσης στις Μη Γραμμικές Στρεπτικές Ταλαντώσεις Ράβδου με τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων

Abstract

Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία αναπτύσσεται μια Μέθοδος Συνοριακών Στοιχείων για τον ποσοτικό προσδιορισμό των διατμητικών τάσεων λόγω στρέβλωσης σε πρισματικές ράβδους τυχούσας διπλά συμμετρικής διατομής που υπόκεινται σε στρεπτικές ταλαντώσεις, λαμβάνοντας υπόψιν το φαινόμενο της γεωμετρικής μη γραμμικότητας. Η ράβδος υπόκειται σε τυχούσες κατανεμημένες ή συγκεντρωμένες, συντηρητικές και χρονικά μεταβαλλόμενες αξονικές, στρεπτικές και στρεβλωτικές δράσεις κατά μήκος της, ενώ τα άκρα της υποστηρίζονται από τις πλέον γενικές αξονικές και στρεπτικές συνοριακές συνθήκες. Τα εγκάρσια κινηματικά μεγέθη εκφράζονται έτσι ώστε να ισχύουν για μεγάλες στρεπτικές στροφές (θεωρία μεγάλων μετατοπίσεων - μικρών παραμορφώσεων) με αποτέλεσμα οι προκύπτουσες κυρίαρχες διαφορικές εξισώσεις αξονικής και στρεπτικής ισορροπίας και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες να είναι πεπλεγμένες και μη γραμμικές. Εφαρμόζοντας το λογισμό των μεταβολών, διατυπώνεται ένα συζευγμένο, μη γραμμικό πρόβλημα αρχικών - συνοριακών τιμών ως προς τα κύρια κινηματικά μεγέθη καθώς και δύο προβλήματα συνοριακών τιμών ως προς την πρωτογενή και τη δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης. Η επίλυση των δύο τελευταίων προβλημάτων πραγματοποιείται με τη Μέθοδο Συνοριακών Στοιχείων (ΜΣΣ) με βάση την οποία απαιτείται αποκλειστικά συνοριακή διακριτοποίηση της διατομής της ράβδου και οδηγεί στον προσδιορισμό των διατμητικών τάσεων λόγω στρέβλωσης. Το προκύπτον γραμμικό σύστημα εξισώσεων, που σχετίζεται με τη δευτερογενή συνάρτηση στρέβλωσης, είναι ιδιόμορφο και χρησιμοποιείται μια ειδική τεχνική για να πραγματοποιηθεί η άρση της ιδιομορφίας. Η ορθότητα της υπόθεσης περί αμελητέας αξονικής αδράνειας διερευνάται στο υπό εξέταση πρόβλημα. Παρουσιάζονται αριθμητικές εφαρμογές πρακτικού ενδιαφέροντος ράβδων που διαθέτουν τόσο κλειστή όσο και ανοιχτή διατομή.

In this Master Thesis, a boundary element method is developed for the quantitative evaluation of warping shear stresses of prismatic bars of arbitrary doubly symmetric cross section undergoing nonuniform torsional vibrations taking into account the effect of geometrical nonlinearity. The bar is subjected to arbitrarily distributed or concentrated conservative time dependent axial, twisting and warping actions along its length, while its edges are supported by the most general axial and torsional boundary conditions. The transverse displacement components are expressed so as to be valid for large twisting rotations (finite displacement – small strain theory), thus the arising governing differential equations of axial and torsional equilibrium and the corresponding boundary conditions are in general nonlinear. Employing a variational approach, a coupled nonlinear initial boundary value problem with respect to the main unknown kinematical components and two boundary value problems with respect to the primary and secondary warping functions are formulated. The solution of the last two problems is performed by a pure BEM approach requiring exclusively boundary discretization of the bar’s cross section and leading to the evaluation of the warping shear stresses. The arising linear system of equations related to the secondary warping function is singular and a special technique is used to perform its regularization. The validity of negligible axial inertia assumption is examined for the problem at hand. Numerical examples of practical interest are presented of bars of both closed and open cross-sections.