Υπολογιστική Προσομοίωση και Ανάλυση της Δυναμικής Δικτύων Νευρώνων του Ανθρώπινου Εγκεφάλου: Από τη Μικροσκοπική Μοντελοποίηση στη Συστηματική Μελέτη της Δρώσας Μνήμης.

Πρωτόπαπα, Φωτεινή; Protopapa, Foteini

dc.contributor.author	Πρωτόπαπα, Φωτεινή	el
dc.contributor.author	Protopapa, Foteini	en
dc.date.accessioned	2015-02-04T12:04:56Z
dc.date.available	2015-02-04T12:04:56Z
dc.date.issued	2015-02-04
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/40209
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.1337
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Χωρική δρώσα μνήμη; Χρονο-συχνοτική ανάλυση; Κατευθυνόμενα λειτουργικά δίκτυα; Μοντελοποίηση Νευρώνων; Ελεύθερη Εξισώσεων; Spatial working memory; Time-frequency analysis; Directed functional networks; Neuronal modeling; Equation-Free;	el
dc.title	Υπολογιστική Προσομοίωση και Ανάλυση της Δυναμικής Δικτύων Νευρώνων του Ανθρώπινου Εγκεφάλου: Από τη Μικροσκοπική Μοντελοποίηση στη Συστηματική Μελέτη της Δρώσας Μνήμης.	el
heal.type	doctoralThesis
heal.secondaryTitle	Computational Simulation and Analysis of Human Brain Network Dynamics: From the Microscopic Modeling to the Systematic Study of Working Memory	en
heal.generalDescription	Η δρώσα μνήμη (working memory) θεωρείται ότι κατέχει ρόλο-κλειδί σε υψηλότερου επιπέδου γνωστικές διεργασίες όπως είναι η λήψη αποφάσεων [Toth & Lewis, 1997], η λογική [Ruff et al., 2003] και η αναγνώριση [Bledowski et al., 2012], αφού είναι υπεύθυνη για τη διατήρηση και ταυτόχρονα την επεξεργασία μικρής ποσότητας πληροφορίας, που αποθηκεύεται στο μυαλό μας για μια περιορισμένη χρονική περίοδο. Συνεπώς, η κατανόηση των μηχανισμών που αφορούν τη λειτουργία της δρώσας μνήμης αποτελεί θεμελιώδες, και ακόμη ανοικτό, πρόβλημα στον κλάδο της νευροεπιστήμης. Προγενέστερες μελέτες [Carpenter et al., 1999; Smyrnis et al., 1992] επιβεβαιώνουν ότι η χωρική δρώσα μνήμη (δρώσα μνήμη που είναι υπεύθυνη για την διατήρηση και επεξεργασία χωρικών πληροφοριών) αποτελεί συνάρτηση του κινητικού συστήματος. Το ερώτημα που τίθεται πλέον είναι κατά πόσον η απομνημόνευση θέσεων στο χώρο για επερχόμενες κινήσεις μοιράζεται την ίδια οδό επεξεργασίας με την απομνημόνευση θέσεων στο χώρο για επερχόμενη αντιληπτική επεξεργασία (πχ. αναγνώριση του αντικειμένου / αναγνώριση αλλαγής θέσης) ή εάν υπάρχουν ενδείξεις για ξεχωριστούς οδούς επεξεργασίας. Η υπόθεση σχετικά με την ύπαρξη ενός ενιαίου συστήματος της χωρικής δρώσας μνήμης, που εξυπηρετεί την αντίληψη καθώς και τον σχεδιασμό / εκτέλεση μιας κίνησης, μπορούμε να πούμε ότι υποστηρίζεται από προηγούμενες μελέτες [Awh & Jonides, 2001; Baddeley, 1986; Lawrence et al., 2001; Logie, 1995; Smyth et al., 1988], αλλά δεν έχει επιβεβαιωθεί αφού το ερώτημα αυτό δεν έχει αντιμετωπιστεί ξανά άμεσα. Έπειτα, η υπόθεση σχετικά με την ύπαρξη ξεχωριστών οδών επεξεργασίας μπορούμε να πούμε ότι αποτελεί λογική συνέχεια του θεωρητικού μοντέλου της δρώσας μνήμης [Baddeley & Hitch, 1974]. Πιο αναλυτικά, το μοντέλο αυτό θεωρεί ότι η λειτουργία της δρώσας μνήμης διέπεται από δύο υποσυστήματα: το φωνολογικό βρόγχο (phonological loop) και το οπτικοχωρικό μπλοκ (visual spatial sketchpad). Διάφορες μελέτες έχουν δείξει ότι το οπτικοχωρικό μπλοκ διαχωρίζεται περαιτέρω ανάλογα με το είδος της εργασίας («τι» και «που» οδοί) [Goodale et al., 1994]. Περαιτέρω, έχει δειχθεί ότι ο μηχανισμός της οπτικο-χωρικής δρώσας μνήμης διατηρεί πλήρη κινητικά σχέδια τα οποία θα μπορούσαν είτε να εκτελεστούν είτε όχι [Awh & Jonides, 2001]. Έχει επίσης προταθεί ότι αυτός ο διαχωρισμός, όσον αφορά τον προγραμματισμό μιας κίνησης και την οπτική επεξεργασία για αντίληψη, εμφανίζεται μόνο όταν η προσέγγιση και το πιάσιμο των αντικειμένων γίνεται σε πραγματικό χρόνο [Goodale & Westwood, 2004]. Διάφορες άλλες μελέτες, που έχουν κάνει χρήση του σύνηθες παραδείγματος S1-S2 (όπου S1 είναι η κατάσταση (π.χ. θέση / χρώμα / σχήμα) του πρώτου στόχου και S2 η κατάσταση του δεύτερου στόχου), έχουν αποδείξει ότι η χωρική δρώσα μνήμη διαχωρίζεται ανάλογα με το εάν η πληροφορία συσχετίζεται με το αντικείμενο ή με τη θέση αυτού [Zimmer, 2008]. Ωστόσο, μέχρι σήμερα, το ερώτημα του κατά πόσον υπάρχουν ξεχωριστές οδοί επεξεργασίας στην χωρική δρώσα μνήμη στον εγκέφαλο (κίνηση / χωρική αντίληψη) δεν έχει επιλυθεί. Για να δώσουμε απάντηση στο ερώτημα αυτό, καταρχάς σχεδιάσαμε ένα πείραμα που περιελάμβανε δύο εργασίες: (α) κινητική (η θέση του στόχου στον χώρο χρησίμευε ως τελική θέση μιας στοχευμένης κίνησης) και (β) ανίχνευση αλλαγής (η θέση του στόχου στον χώρο αποτελούσε κριτήριο για την λήψη μιας απόφασης σχετικά με πιθανή αλλαγή της θέσης ενός δεύτερου στόχου), υπό δύο καταστάσεις (μνημονική / μη-μνημονική). Η συμπεριφορική ανάλυση των δεδομένων μας έδειξε ότι δεν υπήρχε κάποια διαφορετική επίδραση στο χρόνο αντίδρασης ή στην απώλεια χωρικής ακρίβειας, γεγονός που ευνοεί την υπόθεση ύπαρξης ενός κοινού μηχανισμού της χωρικής δρώσας μνήμης για τις συγκεκριμένες εργασίες [Smyrnis et al., 2013]. Έπειτα πραγματοποιήθηκε χρονοσυχνοτική ανάλυση των ηλεκτροεγκεφα-λογραφικών (EEG) καταγραφών, μέσω επιβολής του ζωνοπερατού φίλτρου Butterworth και του μετασχηματισμού Fourier μικρής διάρκειας (Short Time Fourier Transform, STFT), έτσι ώστε να είμαστε σε θέση να εντοπίσουμε πιθανές διαφορές στην πάροδο του χρόνου, όσον αφορά τα πλάτη συγκεκριμένων μπάντων συχνοτήτων, που αντιστοιχούν στους γνωστούς μας εγκεφαλικούς ρυθμούς (δ, θ, α, β και γ) στους οποίους οι νευρώνες επικοινωνούν. Η χρονοσυχνοτική ανάλυση αποκάλυψε ότι τα σήματα στα οποία η μνήμη ήταν απαιτούμενη παρουσίασαν μικρότερο πλάτος φάσματος στον α (8-12 Hz) αλλά μεγαλύτερο στον β (13-30 Hz) και στον γ (30-45 Hz) ρυθμό σε σχέση με τους μη-μνημονικούς τύπους δοκιμών. Η διαφορά αυτή, στον α-ρυθμό περιορίστηκε στην μεσαία-μετωπική περιοχή, στον β-ρυθμό επεκτάθηκε πάνω από το δεξί ημισφαίριο και στην μεσαία-κεντρική περιοχή και στον γ-ρυθμό περιορίστηκε στην ινιακοβρεγματική περιοχή. Κυριότερα, τόσο στον β όσο και στον γ ρυθμό, παρατηρήσαμε μια σημαντική αύξηση του πλάτος φάσματος για την κίνηση με μνήμη σε σύγκριση με την ανίχνευση αλλαγής με μνήμη στην μεσαία-κεντρική περιοχή. Τα αποτελέσματα της μελέτης αυτής επεκτείνουν προηγούμενα δημοσιευμένα αποτελέσματα και αναδεικνύουν πως η ανάλυση φάσματος EEG σημάτων θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως εργαλείο για την ταυτοποίηση ξεχωριστών οδών επεξεργασίας στην ανθρώπινη δρώσα μνήμη [Smyrnis et al., 2013]. Παρόλα αυτά, η χρονοσυχνοτική ανάλυση απέτυχε να ανιχνεύσει σε κάποια περιοχή και σε κάποιον ρυθμό το αντίθετο αποτέλεσμα, το οποίο θα μας παρείχε ενδείξεις για μια διπλή διαστατοποίηση των δύο οπτικο-χωρικών οδών επεξεργασίας της χωρικής δρώσας μνήμης (κινητικό και αντιληπτικό). Για το λόγο αυτό σε μια επόμενη μελέτη [Protopapa et al., 2014] αποφασίσαμε να διεξάγουμε ένα άλλο είδος ανάλυσης και αντί να μελετήσουμε το πλάτος των σημάτων per se, υπολογίσαμε τη δυναμική της δικτύωσης αυτών των σημάτων με χρήση της μεθόδου φασματικής αιτιατότητας κατά Granger (spectral GC) [Chen et al., 2006; Ding et al., 2006; Geweke, 1984; Granger, 1969; Granger, 1980]. Πρόκειται για μια state-of-the-art μέθοδο στο χώρο της υπολογιστικής νευροεπιστήμης, η οποία μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη λειτουργική (functional) δικτύωση του εγκεφάλου μέσω της εκτίμησης της αιτιατής (causal) διασύνδεσης των σημάτων που έχουμε και έτσι να λάβουμε νέες πληροφορίες σχετικές με την λειτουργία των υποσυστημάτων που αυτά παράγουν [Pereda et al., 2005]. H χρήση της στον τομέα της νευροεπιστήμης (μαζί με όλες τις παραλλαγές της) παρουσιάζει σημαντική αύξηση τα τελευταία χρόνια, αφού δίνει τη δυνατότητα να αποκαλυφτούν ιδιότητες των νευρωνικών δικτύων, τις οποίες άλλες μέθοδοι, όπως η έτεροσυσχέτιση (cross-correlation) και η απλή συνάφεια (coherence), δεν είναι σε θέση να κάνουν [Kaminski et al, 2001; Chen et al., 2006; Liang et al., 2000; Brovelli et al., 2004]. Πρόκειται λοιπόν για ένα μέτρο υπολογισμού της κατευθυνόμενης λειτουργικής συνδεσιμότητας (directed functional connectivity) [Barrett & Barnett, 2013]. Εφαρμόσαμε φασματική αιτιατότητα κατά Granger κάνοντας χρήση μετακινόμενων χρονικών παραθύρων (sliding windows) και προέκυψε ένας σαφής διαχωρισμός της χωρικής δρώσας μνήμης όσον αφορά την κίνηση και την αντίληψη στο επίπεδο της λειτουργικής συνδεσιμότητας, στο χρόνο, στο (ανατομικό) χώρο αλλά και στο χώρο των συχνοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, οι δοκιμές τύπου κίνησης με μνήμη είχαν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ενός ισχυρού μοτίβου δικτύωσης, το οποίο χαρακτηρίζεται από σχετικά υψηλότερο (σε σύγκριση με την μη-μνημονική κατάσταση) ολικό βαθμό δικτύου κατά τα πρώτα 2 δευτερόλεπτα της περιόδου καθυστέρησης (εκτέλεσης). Οι κυριότεροι στατιστικά σημαντικοί κόμβοι με τις περισσότερες συνδέσεις εντοπίστηκαν κυρίως στις μετωπιαίες και στις δεξιά-βρεγματικές περιοχές. Το συγκεκριμένο μοτίβο ήταν εμφανές σε όλες τις μπάντες συχνοτήτων, αλλά περισσότερο στον β και λιγότερο στον γ ρυθμό. Τα δίκτυα λειτουργικής συνδεσιμότητας αποκάλυψαν μια προφανή (apparent) ροή της δικτύωσης από την μετωπική στην βρεγματική περιοχή, γεγονός που υποδηλώνει ότι η βρεγματική περιοχή είναι απαραίτητη για τη συνεχή ενημέρωση του απομνημονευμένου κινητικού σχεδίου για την επερχόμενη κίνηση [Protopapa et al., 2014]. Οι δοκιμές τύπου κίνησης-μνήμης είχαν επίσης ως αποτέλεσμα την εμφάνιση ενός ισχυρού μοτίβου δικτύωσης, το οποίο χαρακτηρίζεται από σχετικά υψηλότερο (σε σύγκριση με την μη-μνημονική κατάσταση) ολικό βαθμό δικτύου. Όμως, στην περίπτωση αυτή η χρονική εξέλιξη του ολικού βαθμού του δικτύου ήταν πολύ διαφορετική σε σύγκριση με εκείνη που παρατηρήθηκε για την κίνηση με μνήμη. Εδώ, μπορούμε να παρατηρήσουμε τρεις διακριτές κορυφές στην αρχή, στη μέση και προς το τέλος της περιόδου καθυστέρησης. Η τοπογραφική οργάνωση των κόμβων με τους στατιστικά υψηλότερους τοπικούς βαθμούς ήταν επίσης διαφορετική. Στην περίπτωση αυτή, οι στατιστικά σημαντικότεροι κόμβοι με τις περισσότερες συνδέσεις παρατηρούνται κυρίως στη μεσαία-κεντρική περιοχή του εγκεφάλου (νωρίς και αργά κατά την περίοδο καθυστέρησης) αλλά και στη μεσαία-μετωπική και μεσαία-βρεγματική περιοχή (μέσω της περιόδου καθυστέρησης). Σημειώνουμε, ότι η συγκεκριμένη διαμόρφωση του δικτύου ήταν και πάλι εμφανής σε όλους τους εγκεφαλικούς ρυθμούς, αλλά περισσότερο εμφανής στο β και λιγότερο στο γ ρυθμό. Τα δίκτυα λειτουργικής συνδεσιμότητας των δοκιμών τύπου ανίχνευσης αλλαγής με μνήμη αποκάλυψαν μια πολύ διαφορετική οργάνωση του δικτύου, το οποίο χαρακτηριζόταν στην περίπτωση αυτή από μια γενικευμένη ροή από τις ινιακο-βρεγματικές περιοχές προς τις μετωπιαίες. Μια τέτοια ροή πληροφοριών (από τις ινιακο-βρεγματικές περιοχές στις μετωπιαίες) θα μπορούσε ίσως να χρησιμεύει στη συνεχή ενημέρωση των πληροφοριών στις μετωπιαίες περιοχές κατά τη διάρκεια της περιόδου καθυστέρησης [Protopapa et al., 2014]. Τα προαναφερθέντα αποτελέσματα υποστηρίζουν την υπόθεση της εγκεφαλικής λειτουργίας ως ένα προσαρμοζόμενο δίκτυο από νευρωνικές δομές που οργανώνονται ανάλογα με την συγκεκριμένη εργασία που ζητείται [Postle, 2006; Zimmer, 2008]. Κατά την άποψη αυτή, δεν υπάρχει κάποιο ειδικό υποσύστημα αφιερωμένο στη χωρική δρώσα μνήμη. Αντί αυτού, θα μπορούσαμε να μιλάμε για διαφορετικές εργασίες (ανίχνευση αλλαγής ή δεικτική κίνηση) με συγκεκριμένες απαιτήσεις που παρουσιάζουν διαφορετική διαδικτυακή οργάνωση των υποκείμενων εγκεφαλικών περιοχών. Κάθε μία από αυτές τις εργασίες συνδέεται με νοητικές διεργασίες αναπαραστάσεων, ενώ οι διεργασίες αυτές πραγματοποιούνται από συγκεκριμένες νευρωνικές δομές δικτύωσης που είναι τοπικά εξειδικευμένες [Zimmer, 2008]. Η παραπάνω ανάλυση μας επέτρεψε να βρούμε την «φαινομενολογική» λειτουργική δικτύωση του εγκεφάλου. Παρόλα αυτά η συγκεκριμένη προσέγγιση είναι μια προσέγγιση «μαύρου κουτιού» (black-box) η οποία δεν λαμβάνει υπόψη βιοφυσικά χαρακτηριστικά των υποκείμενων νευρώνων. Τα τελευταία χρόνια η έρευνα διεθνώς κατευθύνεται και προς τη σύζευξη λεπτομερών βιοφυσικών μοντέλων και πειραματικών χρονοσειρών. Εδώ το ερώτημα είναι αν μπορεί κάποιος από νευρολογικά βιοφυσικά δυναμικά μοντέλα να αναπαράγει ή να προσεγγίσει πειραματικές χρονοσειρές. Σε μια αρχική προσπάθεια προς αυτήν την κατεύθυνση μοντελοποιήσαμε και προσομοιώσαμε τη δυναμική της χωρική δρώσα μνήμης βασιζόμενοι στο μοντέλο του Fall και των συνεργατών του [Fall et al., 2005]. Εν ολίγοις πρόκειται για ένα μοντέλο τύπου πυροδότησης στο οποίο οι νευρώνες χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι εμφανίζουν δισταθή ευστάθεια (bistability) όσον αφορά την δυναμική τους. Επιπλέον, οι νευρώνες αυτοί συνδέονται με ανασταλτικές (inhibitory) συνάψεις και σχηματίζουν δικτύωση τύπου «δακτυλίδι» (ring). Για τη συστηματική μελέτη της αναδυόμενης δυναμικής συμπεριφοράς του μοντέλου έπρεπε να καταφέρουμε να γεφυρώσουμε το λεπτομερές μικροσκοπικό επίπεδο όπου έγινε η μοντελοποίηση με το μακροσκοπικό όπου τελικά καταγράφονται οι φαινόμενες δυναμικές. Καταρχάς θεωρήσαμε το λεπτομερή προσομοιωτή ως μια απεικόνιση μαύρου κουτιού και με βάση την ιδέα του χρονο-βηματιστή (timestepper) [Shroff and Keller, 1993; Kevrekidis et al., 2003] κατασκευάσαμε το πλήρες διάγραμμα διακλάδωσης, το οποίο αποκάλυψε πολλαπλές λύσεις (multiplicity) στάσιμων κυμάτων (standing waves) αναλλοίωτα ως προς την μεταφορά (translational invariant). Μάλιστα το παραχθέν διάγραμμα διακλάδωσης είναι αρκετά περίπλοκο στη δομή του με πολύ μεγάλη λεπτομέρεια στην εναλλαγή ασταθών και ευσταθών κλάδων στάσιμων κυμάτων. Σημειώνεται ότι η «αποκάλυψη» αυτής της συμπεριφοράς ήταν αδύνατη να ευρεθεί με απλή χρονική προσομοίωση. Στη συνέχεια βάσει της μεθόδου «Ελεύθερης Εξισώσεων» (Equation Free) [Gear et al., 2002; Kevrekidis et al., 2003; Makeev et al., 2002; Möller et al., 2005; Runborg et al., 2002; Siettos, 2011] αναλύσαμε την αδρομέρη συμπεριφορά της δυναμικής χρησιμοποιώντας ένα μικρό αριθμό ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης για την προσέγγιση του σχήματος των στάσιμων κυμάτων. Η εφαρμογή της μεθόδου μας έδωσε ένα αδρομέρες διάγραμμα διακλάδωσης το οποίο δεν εμπεριέχει την λεπτομέρεια του διαγράμματος διακλάδωσης που κατασκευάστηκε με το πλήρες μοντέλο, αλλά αντιστοιχεί εν τέλει στην αναμενόμενη (expected) συμπεριφορά. Τα αποτελέσματα αυτά, τόσο της εύρεσης της φασματικής αιτιατής διασυνδεσιμότητας αλλά και της κατασκευής του διαγράμματος διακλάδωσης του δυναμικού μοντέλου της χωρικής δρώσας μνήμης είναι καινοτόμα και παρουσιάζονται για πρώτη φορά στην διεθνή επιστημονική κοινότητα. Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελείται από 3 Κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το πείραμα μαζί με την συμπεριφορική και χρονοσυχνοτική ανάλυση που ακολουθήθηκε. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναλύεται και παρουσιάζεται η μεθοδολογία και τα αποτελέσματα της λειτουργικής δικτύωσης μέσω της φασματικής αιτιατότητας κατά Granger. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το δυναμικό μοντέλο νευρώνων χωρικής δρώσας μνήμης και τα αποτελέσματα από την ανάλυση διακλάδωσης με βάση την έννοια του χρονοβηματιστή στο πλήρες μοντέλο και με βάσει την μέθοδο «Ελεύθερη Εξισώσεων» με μια αδρομερή προσέγγιση των λύσεων με ορθοκανονικά πολυώνυμα βάσης. Η διατριβή ολοκληρώνεται με μια σύνοψη των συμπερασμάτων και μια καταγραφή κατευθύνσεων για μελλοντική έρευνα.	el
heal.classification	Υπολογιστική Νευροεπιστήμη	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-02-03
heal.abstract	Στην παρούσα διατριβή μελετήθηκε το κατά πόσον υπάρχουν ξεχωριστές οδοί επεξεργασίας στον εγκέφαλο για τη χωρική δρώσα μνήμη (κίνηση / χωρική αντίληψη). Αρχικά πραγματοποιήθηκε χρονοσυχνοτική ανάλυση των ηλεκτροεγκεφαλογραφικών (EEG) καταγραφών, μέσω επιβολής του ζωνοπερατού φίλτρου Butterworth και του μετασχηματισμού Fourier μικρής διάρκειας (Short Time Fourier Transform, STFT), όπου εντοπίστηκαν διαφορές όσον αφορά τα πλάτη συγκεκριμένων ρυθμών των EEG καναλιών στην πάροδο του χρόνου [Smyrnis et al., 2013]. Έπειτα εφαρμόσθηκε φασματική αιτιατότητα κατά Granger κάνοντας χρήση μετακινόμενων χρονικών παραθύρων και από την ανάλυση αυτή προέκυψε ένας σαφής διαχωρισμός της χωρικής δρώσας μνήμης όσον αφορά την κίνηση και την αντίληψη στο επίπεδο της λειτουργικής συνδεσιμότητας, τόσο στο χρόνο όσο και στο χώρο [Protopapa et al., 2014]. Τα αποτελέσματα αυτά ευνοούν την υπόθεση που θεωρεί τη χωρική δρώσα μνήμη εργασίας ως υποπροϊόν συγκεκριμένων νοητικών διεργασιών που δεσμεύει κοινές περιοχές του εγκεφάλου αλλά υπό διαφορετικές οργανώσεις όσον αφορά την δικτύωση. Τέλος προσομοιώσαμε ένα δίκτυο νευρώνων και μελετήσαμε συστηματικά την δυναμική του κατασκευάζοντας το διάγραμμα διακλάδωσης του προσομοιωτή αξιοποιώντας την έννοια του χρονοβηματιστή και του πλαισίου «Ελεύθερου Εξισώσεων».	el
heal.advisorName	Σιέττος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Σιέττος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρνής, Νικόλαος	el
heal.committeeMemberName	Γκούσης, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Μπουντουβής, Ανδρέας	el
heal.committeeMemberName	Τσινιάς, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Θεοτόκογλου, Ευστάθιος	el
heal.committeeMemberName	Νικήτα, Κωνσταντίνα	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μηχανικής	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	182 σ.
heal.fullTextAvailability	true