Τυχαία και Κοινωνικά Δίκτυα

Χατζηελευθερίου, Λίβια Έλενα; Chatzieleftheriou, Livia Elena

dc.contributor.author	Χατζηελευθερίου, Λίβια Έλενα	el
dc.contributor.author	Chatzieleftheriou, Livia Elena	el
dc.date.accessioned	2015-06-15T10:41:17Z
dc.date.available	2015-06-15T10:41:17Z
dc.date.issued	2015-06-15
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/40838
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.8616
dc.rights	Default License
dc.subject	Τυχαίοι γράφοι	el
dc.subject	Κοινωνικά δίκτυα	el
dc.subject	Erdos renyi τυχαίοι γράφοι	el
dc.subject	Barabasi albert τυχαίοι γράφοι	el
dc.subject	Random graphs	el
dc.subject	Poisson random graphs	el
dc.subject	Preferential attachment random graphs	el
dc.subject	Social networks	el
dc.subject	Erdos renyi	el
dc.subject	Barabasi albert	el
dc.title	Τυχαία και Κοινωνικά Δίκτυα	el
dc.title	Random and Social Networks	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	el
heal.classification	Θεωρία γραφημάτων	el
heal.classification	Θεωρία πιθανοτήτων	el
heal.classification	Graph τheory	el
heal.classification	Limit theorems (Probability theory)	el
heal.classification	Graph theory	el
heal.classification	Probability theory	el
heal.classificationURI	http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85077023
heal.classificationURI	http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85056471
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-03-06
heal.abstract	Η ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας οδηγεί εκ των πραγμάτων στη δημιουργία καινούριων δομών και αντικειμένων που χρειάζονται μελέτη. Για να περιγραφούν αυτά, ως κομμάτι της πραγματικότητας, απαιτείται η γνώση μεγάλου πλήθους παραμέτρων. Το γεγονός αυτό κάνει την ακριβή περιγραφή της πραγματικότητας ένα άπιαστο όνειρο. Λύση στο πρόβλημα αυτό είναι η χρήση μοντέλων. Εξ’άλλου, ”All models are wrong, but some of them are usefull”, όπως είχε πει και ο Άγγλος μαθηματικός G.Box. Στην εργασία αυτή θα παρουσιαστούν μοντέλα που επιχειρούν να περιγράψουν δίκτυα. Τα μοντέλα που θα παρουσιαστούν είναι τυχαία κ συνήθως είναι χρήσιμο και βολικό να μελετώνται οι οριακές τους συμπεριφορές. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας αυτής αναφέρονται κάποιες εισαγωγικές έννοιες σχετικές με τη Θεωρία Γραφημάτων και τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, μελετάται το μοντέλο των Erdös και Rényi για τους τυχαίους γράφους. Σύμφωνα με αυτό, για κάθε ζεύγος i,j κόμβων ενός κενού γραφήματος, έχουμε δημιουργία της ακμής ij με πιθανότητα p. Το μοντέλο αυτό αφορά σε γράφους σταθερού μεγέθους. Μπορεί, όμως μια μικρή αλλαγή στην τιμή της πιθανότητας p να ευθύνεται για την αλλαγή της δομής ολόκληρου του γραφήματος; Στο κεφάλαιο αυτό μελετώνται οι οριακές συναρτήσεις για την πιθανότητα p για διάφορες ιδιότητες, όπως για την κατανομή των βαθμών, τη δομή, τη συνεκτικότητα, τις αποστάσεις σε γραφή- ματα που προκύπτουν από τους κανόνες που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Στο τέλος του τρίτου κεφαλαίου, γίνεται μελέτη κάποιων μέτρων κεντρικότητας στα γραφήματα. Θεωρήθηκε ένα γράφημα και σε αυτό υπολογίστηκαν οι τιμές για κά- ποια από τα μέτρα αυτά. Τα τυχαία ER γραφήματα, που μελετήθηκαν στο προπροηγούμενο κεφάλαιο, δεν είναι, συνήθως, ικανά να περιγράψουν επιτυχώς πραγματικά και κοινωνικά δίκτυα. Παρ’όλ’ αυτά, είναι πολύ χρήσιμα σαν σημεία αναφοράς, για τη σύγκριση των δεύ- τερων με τα πρώτα, από την οποία μπορούμε να λάβουμε πληροφορίες σχετικά με το κατά πόσο ένα δίκτυο έχει δημιουργηθεί με τρόπο τυχαίο. Οι δύο βασικές συμπερι- φορές που παρατηρούνται σε πραγματικά και κοινωνικά δίκτυα και που καταστούν το προηγούμενο μοντέλο ανίκανο για την περιγραφή τους είναι η γιγάντωση και η προ- τίμηση για τη σύναψη συνδέσεων με τις κεντρικότερες οντότητες στο γράφημα. Έτσι, στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται μελε΄τη του μοντέλου των Barabási και Albert. Το μοντέλο αυτό, ή αλλιώς το Preferential Attachment μοντέλο, οριζεται με τρόπο τέτοιο που ενσωματώνει τις δύο συμπεριφορές που παρατηρούνται σε κοινωνικά και πραγματικά δίκτυα και που αναφέρθηκαν προηγουμένως. Μια βασική διαφορά με το ER μοντέλο, είναι ότι στο ΒΑ παράγει ακολουθίες γραφημάτων και όχι γραφήματα. Έτσι, με βάση τις διάφορες παραμέτρους του μοντέλου, εξετάζεται η συμπεριφορά και η χρονική εξέλιξη του γραφήματος, στα οποία κυριαχρεί ο κανόνας ότι ο πλούσιος γίνεται πλουσιότερος (πιο γρήγορα από το φτωχό). Παρατηρούμε ότι ισχύουν εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα από αυτά που ισχύουν για ER γραφήματα. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται ανάλυση ενός πραγματικού κοινωνικού δι- κτύου. Το δίκτυο αυτό έχει για κόμβους τεταρτοετείς φοιτητές της ΣΕΜΦΕ. Ακμή από τον i κόμβο προς τον j κόμβο υπάρχει όταν ο j αναφέρεται από τον i στην απάντησή του στην ερώτηση ”Σε ποιον συμφοιτητή σου απευθύνεσαι όταν έχεις απορίες σχετικά με μαθήματα της σχολής;”. Μελετώνται διάφορες ιδιότητες του γραφήματος και συ- σχετίσεις μεταξύ διαφόρων ποσοτήτων. Η ανάλυση γίνεται με χρήση του Pajek και της R.	el
heal.abstract	The great technological developments in recent decades have led practically to the creation of new structures and objects that require further study. In order to describe them as part of the reality, we need to know a big amount of parameters. For this reason the exact description of reality looks like an elusive dream. This obstacle can be overcome with the use of models. Besides, according to the English mathematician G.Box “All models are wrong, but some of them are useful”. In this thesis we present models which try to describe networks. These models are random and usually it is useful and convenient for us to study their limit behaviours. In the first chapter, some introductory concepts are mentioned which are related to Graph and Probability theories. In the second chapter, we study the Erdös and Rényi model about random graphs. According to this, for every couple of i,j nodes in an empty graph, we have the creation of the ij edge with probability p. This model concerns graphs with fixed size. However, is it possible to have a big change to the graph structure due to a small change in the probability? In this chapter, we study the threshold functions for the probability p for some properties such as degree distribution, structure, connectedness, the distances in graphs that derive from the rules we have referred to. To end the second chapter, we study some centrality measures in graphs. We consider a graph and we calculate the values for some of these centrality measures. The random ER graphs we studied above cannot describe successfully real and social networks. Nevertheless, they are very useful as benchmarks, for instance for the comparison of social with random networks from which we can get information about how much randomly this network has been created. The two basic behaviours we observe in real and social networks that make the previous model unable to describe them are the growth and preference for the junction of links with more central entities in the graph. Thus, in this third chapter we review the Barabási and Albert model. This model, which is also known as Preferential Attachment model, is defined in such a manner that incorporates these two previously referred behaviours that are met in social and real networks. A basic distinction between these two models is that while the ER model creates random graphs, the BA model creates sequences of random graphs. As a result, taking into account the various parameters of the model, the behavior and the time evolution of a graph is examined. In this kind of graphs, due to the preferential attachment property, there is the dominating rule that “the rich gets richer” (faster than the poor). From this, we can notice that completely different results occur in this model in contrast to ER graphs. Finally, in the forth chapter we analyse a real social network. This network includes 4th-grade students of the School of Applied Mathematical and Physical Sciences as nodes. There is an arc from the i node to the j node if the j is mentioned by the i in his/her answer to the question “From which student do you ask information when you don’t understand something at university subjects?”. We study several properties of the graph and relations between some quantities. The analysis is achieved with the use of the Pajek and R softwares.	en
heal.advisorName	Λουλάκης, Μιχαήλ	el
heal.committeeMemberName	Λουλάκης, Μιχαήλ	el
heal.committeeMemberName	Συμβώνης, Αντώνιος	el
heal.committeeMemberName	Σπηλιώτης, Ιωάννης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	124 σ.
heal.fullTextAvailability	true