Προσδιοριστότητα Παιγνίων και Εφαρμογές

Καραμανλής, Μιλτιάδης; Karamanlis, Miltiadis

dc.contributor.author	Καραμανλής, Μιλτιάδης	el
dc.contributor.author	Karamanlis, Miltiadis	en
dc.date.accessioned	2015-07-16T10:55:38Z
dc.date.available	2015-07-16T10:55:38Z
dc.date.issued	2015-07-16
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/40984
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.3693
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/gr/	*
dc.subject	Παίγνια	el
dc.subject	Προσδιοριστότητα παιγνιών	el
dc.subject	Μπορέλ	el
dc.subject	Παιγνίων	el
dc.subject	Determinacy	en
dc.subject	Games	en
dc.subject	Combinatorics	en
dc.subject	Borel	en
dc.title	Προσδιοριστότητα Παιγνίων και Εφαρμογές	el
dc.title	Determinacy of Games and Applications	en
heal.type	masterThesis
heal.generalDescription	A survey on the notion of determinacy of games, a proof of borel determinacy and some applications on borel combinatorics.	en
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Περιγραφική Θεωρία Συνόλων	el
heal.classification	Προσδιοριστότητα Παιγνίων	el
heal.classification	Determinacy of Games	en
heal.classification	Mathematics	en
heal.classification	Descriptive set theory	en
heal.classificationURI	http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85037130
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-04-02
heal.abstract	Στην εισαγωγή αυτής της εργασίας αρχικά δίνουμε κάποια ιστορικά στοιχεία σχετικά με την μελέτη και την χρήση των παιγνίων ως κλάδο των μαθηματικών. Δίνουμε έμφαση στα παίγνια δύο παικτών τέλειας πληροφορίας και την έννοια της προσδιοριστότητας αυτών, δηλαδή την ύπαρξη νικητήριας στρατηγικής για έναν από τους δύο παίκτες. Στην συνέχεια δίνουμε τον ορισμό των ακολουθιακών δέντρων, του σώματος ενός δέντρου, της έννοιας του παιγνίου και της στρατηγικής και αποδεικνύουμε κάποιες βασικές ιδιότητες τους. Μετά την εισαγωγή της έννοιας της προσδιοριστότητας δίνουμε παραδείγματα προσδιοριστών και μη προσδιοριστών παιγνίων αναδεικνύοντας την ανάγκη μελέτης αυτής της έννοιας. Στο δεύτερο κεφάλαιο εισάγουμε μια τοπολογική δομή στο σώμα του δέντρου περιγράφουμε την βάση της τοπολογίας αυτής και αποδεικνύουμε ότι κάθε κλειστό υποσύνολο του σώματος ενός δέντρου είναι το σώμα κάποιου υποδέντρου. Στην συνέχεια δίνεται μια απόδειξη του θεωρήματοςτων Gale και Steward για την προσδιοριστότητα των παιγνίων με ανοιχτό ή κλειστό payoff set. Αφού αναδείξουμε την κακή συμπεριφορά των προσδιοριστών συνόλων σε σχέση με τις συνολοθεωρητικές πράξεις, η οποία γίνεται αντιληπτή μέσω ενός παραδείγματος ενός προσδιοριτού συνόλου του οποίου το συμπλήρωμα δεν είναι προσδιοριστό, δίνουμε ικανές συνθήκες ώστε η προσδιοριστότητα όλων των στοιχείων μίας κλάσης υποσυνόλων να συνεπάγεται από την προσδιοριστότητα της συμπληρωματικής κλάσης. Στην επόμενη ενότητα κάνουμε την παρατήρηση ότι η τοπολογία την οποία έχουμε εισάγει στο σώμα του δέντρου είναι πλήρως μετρικοποιήσιμη και συγκεκριμένα μέσω μιας υπερμετρικής γεγονός το οποίο της προσδίδει ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Το κεφάλαιο τελειώνει με την περιγραφή της σ-άλγεβρας των borel υποσυνόλων του χώρου ενώ αποδεικνύονται κάποιες βασικές ιδιότητες της ιεραρχίας των borel υποσυνόλων που στην ουσία μας επιτρέπουν την χρήση επαγωγικών και αναδρομικών τεχνικών μεθόδων απόδειξης. Το 3ο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην απόδειξη του περίφημου θεωρήματος του Martin για την προσδιοριστότητα των borel υποσυνόλων του σώματος ενός δέντρου. Αφού δοθούν οι αναγκαίοι ορισμοί ακολουθούμε την δεύτερη επαγωγική απόδειξη του θεωρήματος εξετάζοντας αναλυτικά κάθε βήμα του ερίπλοκου και συνάμα όμορφου συλλογισμού του Martin. Στο 4ο κεφάλαιο γυρίζουμε σελίδα και μπαίνουμε στον κλάδο της borel συνδυαστικής. Με εργαλεία της θεωρίας ομάδων και της περιγραφικής θεωρίας συνόλων αυτή η περιοχή των μαθηματικών ασχολείται με τον borel χρωματισμό γραφημάτων και τις borel κλάσεις ισοδυναμίας πρότυπων borel χώρων και έχει συνδέσεις με τομείς όπως η θεωρία μοντέλων και η θεωρητική πληροφορική. Σταδιακά δίνοντας του κατάλληλους ορισμούς διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το κύριο λήμμα μιας πρόσφατης δουλειάς του Adrew Marks το οποίο έχει αποδειχθεί καρποφόρο στην συγκεκριμένη περιοχή. Κύριο χαρακτηριστικό της απόδειξης είναι ο πρωτότυπος τρόπος με τον οποίο γίνεται η χρήση του θεωρήματος του Martin για την κατασκευή μιας συνάρτησης κάνοντας χρήση αριθμίσιμων σε πλήθος διαφορετικών παιγνίων με ένα προσεκτικά επιλεγμένο payoff set. Κλείνοντας την εργασία αυτή δίνουμε κάποιες από τις εφαρμογές του λήμματος.	el
heal.abstract	During the introduction of this thesis we first give some historical elements that concern the study and the uses of mathematical games. Our main concern is two player games of perfect information and the notion of their determinacy i.e the existence of a winning strategy for one of the two players. After that we give the definition of sequential trees, the set of outcomes (the body of the tree), the definition of a game and that of the strategy, proving at the same time some of their basic properties. After we introduce the notion of determinacy we give some examples of determined and non determined games bringing out the need for further exploration of the subject. In τηε 2nd chapter we equip the body of an arbitrary tree with a topological structure we give an characterization of the topological base and we prove that there is a one to one correspondence of the closed sets and the bodies of the sub trees of the original tree. Afterwards we state and prove thewell know theorem of Gale and Steward about the determinacy of the games with open or closed payoff set and we give some examples which highlight the bad behavior of determined sets concerning the set theoretic operations we give sufficient conditions for the determinacy of a class of sets to imply the determinacy of the dual class of the complements. The next section has to do with some topological properties of the body of the tree i.e that it is completely metrizable from an ultra metric which gives rise to some interesting properties. The chapter ends with the description of the borel hierarchy and the proof of the more basic closure properties which will help us develop the inductive proof of the main theorem.The 3rd chapter is completely dedicated to the inductive proof of the famous result about borel determinacy due to Martin. After the introduction of some notions we follow closely Martin through his complicated but still very beautiful reasoning. At the 4th chapter we dive into the world of borel combinatorics. With tools from group theory and descriptive set theory this area of mathematics studies the coloring of borel graphs and borel equivalence relations on standard borel spaces. After we set the field with some basic definitions we formulate the main lemma of a recent work of Andrew Marks which has been considerably fruitful in borel combinatorics. The main characteristic of the proof of the lemma is the innovative way that Marks uses Martins result to construct a function by the use of countably infinite games with a clever and carefully pick of the payoff set. We finish this thesis giving some of the mentioned applications.	en
heal.advisorName	Αρβανιτάκης, Αλέκος	el
heal.committeeMemberName	Κανελόπουλος, Βασίλης	el
heal.committeeMemberName	Ψαράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	92 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true