The Homflypt skein module of the lens spaces L(p,1)

Διαμαντής, Ιωάννης

dc.contributor.author	Διαμαντής, Ιωάννης	el
dc.date.accessioned	2015-09-08T09:00:57Z
dc.date.available	2015-09-08T09:00:57Z
dc.date.issued	2015-09-08
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/41216
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.1824
dc.rights	Default License
dc.subject	Homflypt skein module	en
dc.subject	lens spaces	en
dc.subject	Solid Torus	en
dc.subject	braid equivalence in 3-manifolds	en
dc.subject	generalized Iwahori-Hecke algebra of type B	en
dc.subject	αναλλοίωτες τύπου Jones	el
dc.subject	φακοειδείς χώροι	el
dc.subject	Στερεός τόρος	el
dc.subject	γενικευμένη άλγεβρα Iwahori-Hecke τύπου Β	el
dc.subject	ισοδυναμία πλεξίδων	el
dc.subject	3-πολλαπλότητες	el
dc.title	The Homflypt skein module of the lens spaces L(p,1)	en
dc.title	Το Homflypt skein module των φακοειδών χώρων L(p,1)	el
dc.contributor.department	Μαθηματικών	el
heal.type	doctoralThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2014-12-23
heal.abstract	Στη παρούσα διδακτορική διατριβή προτείνουμε μια νέα μέθοδο για τον υπολογισμό skein module 3-πολλαπλοτήτων μέσω ομάδων πλεξίδων και πηλίκα αυτών. Τα skein module 3-πολλαπλοτήτων αποτελούν σημαντικά αλγεβρικά εργαλεία για την μελέτη των 3-πολλαπλοτήτων, καθώς οι ιδιότητές τους παρέχουν σημαντικές τοπολογικές πληροφορίες για τις ίδιες τις 3-πολλαπλότητες. Αναπτύσσουμε λοπόν όλα τα απαραίτητα εργαλεία για τον υπολογισμό του Homflypt skein module των φακοειδών χώρων L(p,q) και εστιάζουμε στη περίπτωση q=1. Τα αποτελέσματα της παρούσας διατιβής ορίζουν ένα ομογενές πλαίσιο για τη μελέτη κόμβων και κρίκων σε 3-πολλαπλότητες και σε οικογένειες 3-πολλαπλοτήτων. Αρχικά παρουσιάζουμε τη γεωμετρική και αλγεβρική ισοδυναμία πλεξίδων για κόμβους και κρίκους σε 3-πολλαπλότητες οι οποίες προκύπτουν από την τρισδιάστατη σφαίρα με ρητή χειρουργική κατά μήκος ενός πλαισιωμένου κρίκου. Η ρητή χειρουργική αποτελεί γενίκευση της ακέραιας χειρουργικής και κύριο πλεονέκτημά της είναι ότι περιγράφει ολόκληρες οικογένειες 3-πολλαπλοτήτων μέσω του ίδιου πλαισιωμένου κρίκου (με διαφορετικό συντελεστή). Αρχικά γενικεύουμε Θεώρημα Reidemeister για κόμβους και κρίκους σε 3-πολλαπλότητες και αποδεικνύουμε μια βελτιωμένη εκδοχή του στην οποία απαιτείται μόλις μία επιπλέον κίνηση ισοτοπίας. Στη συνέχεια δίνουμε τη γεωμετρική ισοδυναμία πλεξίδων χρησιμοποιώντας τις κινήσεις L και τις braid band moves. Διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε τέλος την αλγεβρική ισοδυναμία πλεξίδων μέσω των ομάδων μικτών πλεξίδων και χρησιμοποιώντας τις τεχνικές της καλωδίωσης, του standard parting και του combing. Δίνουμε τέλος παραδείγματα ισοδυναμίας πλεξίδων για κόμβους και κρίκους στους φακοειδείς χώρους L(p,q), σε πολλαπλότητες Seifert, σε σφαίρες ομολογίας που προκύπτουν από τον κόμβο τρυφύλλι και προτείνουμε εφαρμογές στον υπολογισμό αναλλοίωτων τύπου Jones για κόμβους σε 3-πολλαπλότητες, στον υπολογισμό αναλλοίωτων 3-πολλαπλοτήτων τύπου Witten κ.α. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε μια νέα βάση, Λ, για το Homflypt skein module του στερεού τόρου, S(ST), τα στοιχεία της οποίας περιγράφουν με φυσικό τρόπο τις νέες κινήσεις ισοτοπίας band moves και αποτελεί έτσι κατάλληλη βάση για την επέκταση αναλλοίωτων του στερεού τόρου σε αναλλοίωτες στους φακοειδείς χώρους L(p,q). Ξεκινάμε από τη γνωστή βάση του S(ST), Λ’. Ορίζουμε μία διάταξη στα σύνολα Λ και Λ’ και αποδεικνύουμε ότι τα σύνολα αυτά, εφοδιασμένα με τη νέα διάταξη αποτελούν ολικά διατεταγμένα σύνολα. Στη συνέχεια μεταφράζουμε στοιχεία της βάσης Λ’ σε στοιχεία του συνόλου Λ. Αυτό επιτυγχάνεται σε αρκετά βήματα: Μεταφράζουμε αρχικά τα στοιχεία της Λ’ σε στοιχεία της βάσης της γενικευμένης άλγεβρας Iwahori-Hecke τύπου Β, Σ. Τα στοιχεία που πρικύπτουν διαφέρουν από τα στοιχεία του συνόλου Λ, καθώς ενδέχεται να έχουν κενά στους δείκτες των γεννητόρων της Σ, οι εκθέτες να μη βρίσκονται σε φθίνουσα σειρά, και οι γεννήτορες να ακολουθούνται από στοιχεία της βάσης της άλγεβρας Iwahori-Hecke τύπου Α. Με τη χρήση των stabilization moves και conjugation, μεταφράζουμε τα στοιχεία του συνόλου Σ σε συνδυασμό στοιχείων του συνόλου Λ. Συνδέουμε τέλος τα σύνολα Λ’ και Λ με έναν άπειρο, κάτω τριγωνικό πίνακα με αντιστρέψιμα στοιχεία στη διαγώνιο και δείχνουμε ότι το σύνολο Λ είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Ισοδύναμα, ότι το σύνολο Λ αποτελεί βάση του Homflypt skein module του στερεού τόρου. Στη συνέχεια μελετάμε το Homflypt skein των φακεοειδών χώρων L(p,1), S(L(p,1)). Δείχνουμε αρχικά ότι ο υπολογισμός του S(L(p,1)) προκύπτει από το S(ST) αν αναλύσουμε σχέσεις που προκύπτουν μετά την εφαρμογή μιας νέας κίνησης ισοτοπίας, band move. Η μέθοδος που ακολουθούμε είναι να επιβάλλουμε στην αναλλοίωτη X της Λαμπροπούλου για κόμβους και κρίκους στον στερεό τόρο, ίδια τιμή για δύο μικτούς κρίκους που διαφέρουν κατά μία κίνηση band move, ή ισοδύναμα σε δύο μικτές πλεξίδες που διαφέρουν κατά μία κίνηση braid band move. Κατασκευάζουμε με αυτόν τον τρόπο ένα άπειρο σύστημα εξισώσεων, οι λύσεις του οποίου οδηγούν στη βάση του S(L(p,1)). Οι άγνωστοι του συστήματος προκύπτουν από τη συνάρτηση ίχνους της Λαμπροπούλου και αντιμετατίθενται. Χρησιμοποιώντας τη διάταξη που ορίσαμε στο σύνολο Λ δείχνουμε ότι το άπειρο σύστημα αποτελείται από άπειρα στο πλήθος, «κλειστά» και πεπερασμένα υποσυστήματα, «κλειστά» με την έννοια ότι οι άγνωστοι ενός υποσυστήματος δεν εμφανίζονται σε κανένα άλλο υποσύστημα. Ερευνούμε στη συνέχεια ιδιότητες του άπειρου συστήματος, όπως η συμμετρία που παρουσιάζεται σε συγκεκριμένες εξισώσεις κ.α. Ορίζουμε ακόμα διάταξη στο σύνολο των αγνώστων του συστήματος, η οποία σέβεται τη διάταξη του συνόλου Λ, και μέσω αυτής αποδεικνύουμε συνδυαστικά αποτελέσματα που αφορούν στο σύστημα και τα οποία οδηγούν στη λύση του, και επομένως στη βάση του S(L(p,1)).	el
heal.sponsor	I express my gratitude to the National Technical University of Athens and the grant “Algebraic modeling of topological and computational structures”, program THALIS of the Greek Ministry of Education (NSRF) & EU (ESF) (2013–2015). (en)	en
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Παπάζογλου, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Przytycki, Jozef	en
heal.committeeMemberName	Gordon, Cameron	en
heal.committeeMemberName	Ρασσιάς, Θεμιστοκλής	el
heal.committeeMemberName	Κεχαγιάς, Επαμεινώνδας	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.academicPublisher	Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	135
heal.fullTextAvailability	true