Θετικά ορισμένες συναρτήσεις και το Θεώρημα Karhunen-Loeve

Κατσιμάρδου, Σοφία; Katsimardou, Sofia

dc.contributor.author	Κατσιμάρδου, Σοφία	el
dc.contributor.author	Katsimardou, Sofia	en
dc.date.accessioned	2015-09-10T06:49:40Z
dc.date.available	2015-09-10T06:49:40Z
dc.date.issued	2015-09-10
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/41251
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.4060
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες στην Οικονομία”	el
dc.rights	Default License
dc.subject	Θετικά ορισμένες συναρτήσεις	el
dc.subject	Χαρακτηριστικές συναρτήσεις	el
dc.subject	Συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης	el
dc.subject	Θεώρημα Mercer	el
dc.subject	Θεώρημα Karhunen-Loeve	el
dc.subject	Συμπαγείς και αυτοσυζυγείς τελεστές	el
dc.subject	Popsitive definete functions	en
dc.subject	Characteristic functions	el
dc.subject	Correlation functions	el
dc.subject	Mercer's theorem	el
dc.subject	Karhunen-loeve theorem	el
dc.subject	Compact and self-adjoint operators	el
dc.title	Θετικά ορισμένες συναρτήσεις και το Θεώρημα Karhunen-Loeve	el
dc.title	Positive definite functions and Karhunen-Loeve Theorem	en
heal.type	masterThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-06-16
heal.abstract	Σκοπό της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας, αποτελεί η μελέτη μίας κλάσης συναρτήσεων οι οποίες είναι γνωστές ως θετικά ορισμένες συναρτήσεις. Κίνητρο στην όλη προσπάθεια αποτέλεσε το γεγονός ότι, στη συγκεκριμένη κλάση ανήκουν δύο πολύ σημαντικές κατηγοριές συναρτήσεων, οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, τις οποίες θα μελετήσουμε αναλυτικά. Στην περίπτωση δε των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης ιδιαίτερη έμφαση θα δοθεί σε δύο πολύ σημαντικά αποτέλεσματα που προέρχονται από την θεωρία τελεστών, το θεώρημα Mercer και το θεώρημα Karhunen-Loeve. Η σημαντικότητα των συγκεκριμένων αποτελεσμάτων έγκειται στο γεγονός ότι η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μπορεί να γραφεί ως άθροισμα γινομένων συναρτήσεων μίας μεταβλητής των και αντίστοιχα. Στο πρώτο κεφάλαιο, της εργασίας, παρατίθενται διάφορες εισαγωγικές έννοιες για τις στοχαστικές διαδικασίες δευτέρας τάξεως. Ακόμα, παρουσιάζονται κάποια πολύ βασικά αποτελέσματα της θεωρίας πιθανοτήτων, τα οποία αποτελούν το βασικό εργαλείο για την ανάλυση που θα ακολουθήσει. Τέλος, παρουσιάζονται χωρίς αποδείξεις τα βασικά θεωρήματα σύγκλισης της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στο δεύτερο κεφάλαιο, ορίζονται και μελετώνται διεξοδικά οι θετικά ορισμένες συναρτήσεις και οι ιδιότητες τους. Οι συναρτήσεις αυτές είναι θεμελιώδους σημασίας καθώς τόσο οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις όσο και οι συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης είναι θετικά ορισμένες συναρτήσεις. Η χρησιμότητα τους θα γίνει εμφανής στα επόμενα κεφάλαια. Στο τρίτο κεφάλαιο, εισάγεται η έννοια της χαρακτηριστικής συνάρτησης και παρουσιάζονται αναλυτικά οι ιδιότητες της και τα βασικά αποτελέσματα της αντίστοιχης θεωρίας. Η σημαντικότητα της συγκεκριμένης συνάρτησης έγκειται στο γεγονός ότι μέσω του θεωρήματος αντιστροφής, μπορούμε αν τη γνωρίζουμε να βρούμε τη συνάρτηση κατανομής. Επιπλέον, το θεώρημα Bochner μας δείχνει πώς οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις συνδέονται με τις θετικά ορισμένες συναρτήσεις. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται και στο θεώρημα συνέχειας του Levy, η σημαντικότητα του οποίου έπεται στο γεγονός ότι μας εξασφαλίζει ότι αν συγκλίνουν οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις, οι οποίες είναι σημειακές συναρτήσεις, τότε συγκλίνουν και οι αρχικές συναρτήσεις κατανομής, για τη σύγκλιση των οποίων δεν είναι εύκολο να μιλήσουμε εξ αρχής. Τέλος, γίνεται αναφορά και στη σχέση της χαρακτηριστικής συνάρτησης με τις ροπές. Στο τέταρτο κεφάλαιο, εισάγεται η έννοια της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και γίνεται εμφανές το πώς συνδέεται αυτή με τις θετικά ορισμένες συναρτήσεις. Επιπλέον, εξετάζονται οι ιδιότητες των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης καθώς αυτές αποτελούν το βασικό εργαλείο για τη μελέτη στοχαστικών συναρτήσεων δευτέρας τάξεως. Τέλος, παρατίθενται χωρίς αποδείξεις τα βασικά αποτελέσματα του μέσο-τετραγωνικού λογισμού. Στο πέμπτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα θεωρήματα των Mercer και Karhunen-Loeve. Γίνεται ιδιαίτερη αναφορά στις βασικές έννοιες της θεωρίας τελεστών καθώς και στο θεμελιώδες φασματικό θεώρημα για συμπαγείς και αυτοσυζυγείς τελεστές, ούτως ώστε να έχει αναπτυχθεί το θεωρητικό υπόβαθρο που απαιτείται για την παρουσίαση των θεωρημάτων Mercer και Karhunen-Loeve. Τα θεωρήματα αυτά είναι ιδιαίτερα σημαντικά και βρίσκουν εφαρμογή σε διάφορους κλάδους όπως η ανάλυση εικόνας. Μέσω του Θεωρήματος Mercer η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης μπορεί να γραφεί ως άθροισμα γινομένων συναρτήσεων μίας μεταβλητής των t και s αντίστοιχα. Επιπλέον, αντίστοιχο αποτέλεσμα προκύπτει και μέσω του Θεωρήματος Karhunen-Loeve καθώς έχουμε ότι μία μεσοτετραγωνικά συνεχής τυχαία συνάρτηση μπορεί να γραφεί συναρτήσει γινομένων συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Στο έκτο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στην φασματική αναπαράσταση των στάσιμων τυχαίων συναρτήσεων, οι οποίες μοντελοποιούν φαινόμενα τα οποία συναντώνται ευρύτατα στη φύση. Θα δούμε ότι η φασματική αναπαράσταση είναι το αντίστοιχο του θεωρήματος αντιστροφής των χαρακτηριστικών συναρτήσεων για τις συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης. Επιπλέον, στο παράρτημα, γίνεται αναφορά και για άλλες παρόμοιες αναπαραστάσεις με αυτή του Θεωρήματος Karhunen-Loeve για τις στοχαστικές συναρτήσεις.	el
heal.advisorName	Αθανασούλης, Γεράσιμος	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλης	el
heal.committeeMemberName	Σπηλιώτης, Ιωάννης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	140 σ.
heal.fullTextAvailability	true