Exact stationary probabilistic solutions to stochastic dynamical systems by solving the FPK equation with splitting techniques

Μαμής, Κωνσταντίνος; Mamis, Konstantinos

dc.contributor.author	Μαμής, Κωνσταντίνος	el
dc.contributor.author	Mamis, Konstantinos	en
dc.date.accessioned	2015-11-02T11:43:26Z
dc.date.available	2015-11-02T11:43:26Z
dc.date.issued	2015-11-02
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/41493
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.4912
dc.description	Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Μαθηματική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες στην Οικονομία”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Στοχαστικό σύστημα	el
dc.subject	Εξίσωση Fokker-Plank	el
dc.subject	Μόνιμη κατάσταση	el
dc.subject	Ροή πιθανότητας	el
dc.subject	Ισοδύναμα στοχαστικά συστήματα	el
dc.subject	Στοχαστικός ταλαντωτής	el
dc.subject	Stochastic system;	en
dc.subject	Fokker-Planck equation	en
dc.subject	Stationary solution	en
dc.subject	Probability flow;	en
dc.subject	Splitting technique	en
dc.subject	Equivalent stochastic systems	en
dc.subject	Stochastic oscillator	en
dc.title	Exact stationary probabilistic solutions to stochastic dynamical systems by solving the FPK equation with splitting techniques	en
dc.contributor.department	Μαθηματική Προτυποποίηση στις Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονομία	el
heal.type	masterThesis
heal.classification	Στοχαστική Δυναμική	el
heal.classification	Stochastic Dynamics	en
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-07-15
heal.abstract	The present work aims at determining the stationary response probability density of a system of Stochastic Differential Equations (SDEs) under Gaussian white noise excitation by solving the corresponding stationary (also called reduced) Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) equation. FPK equation is a convection-diffusion Partial Differential Equation (PDE) with regard the response probability density function of a corresponding SDEs system. As will be demonstrated in chapter 2 of the present work, the peculiarity of the FPK equation is that its differential operator is degenerate for cases of interesting stochastic systems, such as oscillators or Hamiltonian systems. The aforementioned peculiarity of FPK equation, along with the constraints of non-negativity and finite integral over its solution (since it has to be a probability density function), makes the solution procedure for stationary FPK equation to differ substantially from the usual techniques for PDEs. Thus, in chapter 3, the auxiliary notions of probability density potential and probability flow vector field are employed to express the probability density function and the stationary FPK equation respectively; Using the probability density potential, part of the constraints over stationary response probability density are satisfied automatically, while stationary FPK equation will be shown that it is an incompressibility condition over probability flow vector field. Having expressed the stationary FPK equation as an incompressibility condition over probability flow, in chapter 4 we consider the special case of stochastic systems solved under the assumption of zero probability flow. The one-dimensional case (only one SDE) is exhaustively studied in paragraph 4.2, where it is investigated if solutions under non-zero probability flow also exist. Then, in paragraph 4.5, the multidimensional case is examined, for which it is proven that, under the zero probability flow assumption, the stationary FPK equation results in a potential problem with regard to probability density potential. Since the previously examined class of stochastic systems under zero probability flow seems rather restrictive, in chapter 5 we investigate systems whose probability flow is split into a zero probability flow part and a residual one. Following the common practice in literature, the probability flow split is performed by splitting the coefficients appearing in stationary FPK equation, with this splitting being most of times dictated by the detailed balance argument originating from statistical mechanics. In the present work, the splitting is performed in a novel way, motivated by the identification of some of the equations replacing the FPK equation as a potential problem with regard to probability density potential. Then, this splitting methodology is applied to stochastic oscillators and a class of Hamiltonian systems, reproducing at first results known from the literature, and consequently generalizing some classes of stochastic oscillators by identifying a balance between the excitation, the restoring and the dissipative forces. Last, in chapter 6 of the present thesis, we revisit the results of chapter 5 in order to establish sufficient conditions under which two stochastic systems share the same stationary response probability density function (equivalent stochastic systems).	en
heal.abstract	Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο τον προσδιορισμό της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας (σππ) της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση ενός συστήματος Στοχαστικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΣΔΕ) που υπόκειται σε διέγερση Γκαουσσιανού λευκού θορύβου, μέσω της επίλυσης της αντίστοιχης στάσιμης εξίσωσης Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK). Η FPK είναι μια Μερική Διαφορική Εξίσωση μεταφοράς-διάχυσης ως προς την σππ της απόκρισης του αντίστοιχου συστήματος ΣΔΕ. Όπως θα δειχθεί και στο κεφάλαιο 2, η ιδιαιτερότητα της FPK είναι ότι ο διαφορικός της τελεστής είναι εκφυλισμένος στις περιπτώσεις ενδιαφερόντων στοχαστικών συστημάτων, όπως ταλαντωτές ή Χαμιλτονιανά συστήματα. Η ιδιαιτερότητα αυτή της FPK, μαζί με τους περιορισμούς της μη αρνητικότητας και του πεπερασμένου ολοκληρώματος επί της λύσης της (καθώς είναι σππ), κάνει την διαδικασία επίλυσης της FPK να διαφέρει ουσιωδώς από τις συνήθεις τεχνικές επίλυσης ΜΔΕ. Έτσι, στο κεφάλαιο 3, οι βοηθητικές έννοιες του δυναμικού πυκνότητας πιθανότητας (δππ) και του διανυσματικού πεδίου της ροής πιθανότητας χρησιμοποιούνται για την έκφραση της σππ της απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση και της στάσιμης FPK αντίστοιχα: Με την χρήση του δππ μέρος των περιορισμών επί της σππ ικανοποιούνται αυτομάτως, ενώ η στάσιμη FPK αποδεικνύεται ότι αποτελεί για την ροή πιθανότητας μια συνθήκη ασυμπιεστότητας. Έχοντας εκφράσει την στάσιμη FPK σαν μια συνθήκη ασυμπιεστότητας επί της ροής πιθανότητας, στο κεφάλαιο 4 εξετάζουμε την ειδική περίπτωση στοχαστικών συστημάτων που λύνονται υπό την παραδοχή μηδενικής ροής πιθανότητας. Η μονοδιάστατη περίπτωση (μόνο μια ΣΔΕ) μελετάται εκτενώς στην παράγραφο 4.2, όπου διερευνάται και το ερώτημα αν επίσης υπάρχουν λύσεις κάτω από μη μηδενική ροή πιθανότητας. Έπειτα, στην παράγραφο 4.5, εξετάζεται η πολυδιάστατη περίπτωση για την οποία και αποδεικνύεται ότι, κάτω από μηδενική ροή πιθανότητας, η στάσιμη FPK καταλήγει σε ένα πρόβλημα δυναμικού ως προς το δππ. Καθώς η κλάση των στοχαστικών προβλημάτων με μηδενική ροή πιθανότητας φαίνεται αρκετά περιοριστική, στο κεφάλαιο 5 μελετούμε συστήματα των οποίων η ροή πιθανότητας κερματίζεται σε ένα κομμάτι μηδενικής ροής πιθανότητας, και σε ένα υπόλοιπο κομμάτι. Ακολουθώντας την συνήθη πρακτική στην βιβλιογραφία, ο κερματισμός της ροής πιθανότητας υλοποιείται με κερματισμό των συντελεστών που εμφανίζονται στην FPK, με τον κερματισμό αυτό να υπαγορεύεται από το επιχείρημα της λεπτομερούς ισορροπίας (detailed balance), που προέρχεται από την στατιστική μηχανική. Στην παρούσα εργασία, ο κερματισμός υλοποιείται με έναν καινούργιο τρόπο, που αξιοποιεί το γεγονός ότι μερικές από τις εξισώσεις που αντικαθιστούν την FPK μπορούν να ιδωθούν ως πρόβλημα δυναμικού ως προς το δππ. Έπειτα, αυτή η μεθοδολογία εφαρμόζεται για στοχαστικούς ταλαντωτές και μια κλάση Χαμιλτονιανών συστημάτων, αναπαράγοντας εν πρώτοις αποτελέσματα ήδη γνωστά από την βιβλιογραφία, αλλά και γενικεύοντας μερικές κλάσεις στοχαστικών ταλαντωτών μέσω του προσδιορισμού μιας σχέσης μεταξύ της διέγερσης και των δυνάμεων επαναφοράς και τριβής. Τέλος στο κεφάλαιο 6, τα αποτελέσματα του κεφαλαίου 5 χρησιμοποιούνται ώστε να βρεθούν ισοδύναμα στοχαστικά συστήματα, που έχουν την ίδια σππ απόκρισης στη μόνιμη κατάσταση.	el
heal.sponsor	The present work has been supported by IKY fellowships of excellence for postgraduate studies in Greece – Siemens program.	en
heal.advisorName	Αθανασούλης, Γεράσιμος	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Λουλάκης, Μιχαήλ	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	122 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true