Οριακή πλαστική ανάλυση των κατασκευών με αλγορίθμους ελλειψοειδούς και σφαίρας

Λεβέντη, Θεοδώρα; Leventi, Theodora

dc.contributor.author	Λεβέντη, Θεοδώρα	el
dc.contributor.author	Leventi, Theodora	en
dc.date.accessioned	2016-06-22T06:57:33Z
dc.date.available	2016-06-22T06:57:33Z
dc.date.issued	2016-06-22
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/42787
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.4762
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Δομοστατικός Σχεδιασμός και Ανάλυση των Κατασκευών”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Οριακή ανάλυση	el
dc.subject	Αλγόριθμος ελλειψοειδούς	el
dc.subject	Μέθοδος σφαίρας	el
dc.subject	Βελτιστοποίηση με περιορισμούς	el
dc.subject	Γραμμικός προγραμματισμός	el
dc.subject	Limit analysis	en
dc.subject	Ellipsoid algorithm	el
dc.subject	Sphere methods	el
dc.subject	Constrained optimization	el
dc.subject	Linear programming	el
dc.title	Οριακή πλαστική ανάλυση των κατασκευών με αλγορίθμους ελλειψοειδούς και σφαίρας	el
dc.title	Limit analysis of structures using ellipsoid and sphere methods	en
heal.type	masterThesis
heal.classification	Βελτιστοποίηση κατασκευών	el
heal.classification	Structural optimization	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2015-10-26
heal.abstract	Η ανάλυση των κατασκευών και ο ασφαλής, λειτουργικός και οικονομικός σχεδιασμός τους αποτελούν αντικείμενο εργασίας και στόχο ενός πολιτικού μηχανικού. Η ασφάλεια επιτάσσει η κατασκευή να διατηρεί την στατική της επάρκεια ακόμη και υπό τις δυσμενέστερες φορτίσεις που μπορεί να τις επιβληθούν στον χρόνο ζωής της, ενώ η λειτουργικότητα να εκπληρώνει απρόσκοπτα την λειτουργία για την οποία σχεδιάστηκε στις συνήθεις συνθήκες. Από την άλλη πλευρά η οικονομία αποτρέπει τον μελετητή από την επιλογή υπερδιαστασιολόγησης και οδηγεί σε επιλογές που εκμεταλλεύονται στον μέγιστο βαθμό τα περιθώρια αντοχών της. Η ταυτόχρονη ικανοποίηση ασφαλούς σχεδιασμού και πλήρους εκμετάλλευσης των διαθέσιμων αντοχών εντοπίζεται ακριβώς την στιγμή πριν την αστοχία της κατασκευής, όπου ο όρος αστοχία μπορεί να αναφέρεται στην μετατροπή της κατασκευής σε μηχανισμό (κατάρρευση), στην υπέρβαση προκαθορισμένων επιτρεπόμενων παραμορφώσεων ή σε όποια άλλη κατάσταση ο μηχανικός θέτει ως οριακή στον σχεδιασμό του. Στην περίπτωση που η αστοχία ταυτίζεται με την κατάρρευση έχει αναπτυχθεί πληθώρα μεθόδων ανάλυσης της κατασκευής. Σε κάθε πρόβλημα μπορεί να επιδιώκεται διαφορετικό ζητούμενο, όπως για παράδειγμα η μεγιστοποίηση των φορτίων για δεδομένο σχεδιασμό ή η ελαχιστοποίηση του βάρους για δεδομένη φορτιστική κατάσταση. Οι περισσότερες μέθοδοι παρακολουθούν την ελαστική και ανελαστική συμπεριφορά της έως την κατάρρευση. Όμως το οριακό φορτίο (φορτιστικός συντελεστής κατάρρευσης ) ή το ελάχιστο βάρος και η οριακή μορφή είναι δυνατόν να υπολογιστούν και απευθείας με εφαρμογή μεθόδων οριακής ανάλυσης. Η οριακή ανάλυση βασίζεται στην παραδοχή τελείως πλαστικής συμπεριφοράς υλικού. Η μαθηματική διατύπωση του προβλήματος με χρήση μητρωικού λογισμού σε συνδυασμό με τα βασικά θεωρήματα της οριακής ανάλυσης (στατικό, κινηματικό και θεώρημα μοναδικότητας λύσης) επιτρέπουν την επίλυσή του με εφαρμογή μεθόδων μαθηματικού προγραμματισμού. Ο μαθηματικός προγραμματισμός οδηγεί στον υπολογισμό βέλτιστης λύσης που ικανοποιεί προκαθορισμένους περιορισμούς και τοιουτοτρόπως μπορεί να προσδιοριστεί η τελική κατάσταση μιας κατασκευής στην οποία να ικανοποιούνται οι συνθήκες ισορροπίας και συμβιβαστού. Στην περίπτωση που το υλικό είναι στερεό-ιδεωδώς πλαστικό, τα κριτήρια διαρροής διατομής είναι γραμμικοποιημένα, και δεν υπάρχουν περιορισμοί στις παραμορφώσεις της κατασκευής, το πρόβλημα που μορφώνεται εντάσσεται στην κατηγορία προβλημάτων βελτιστοποίησης γραμμικού προγραμματισμού. Στην παρούσα εργασία έγινε διαμόρφωση του προβλήματος με χρήση στατικού θεωρήματος. Για την επίλυση προβλημάτων LPs υπάρχουν πολλοί, διαφορετικοί αλγόριθμοι. Καθένας εξ αυτών εμφανίζει πλεονεκτήματα ή μειονεκτήματα που τον καθιστούν κατάλληλο ή μη κατάλληλο για τα είδη προβλημάτων που καλείται να λύσει. Κατηγοριοποιούνται με βάση διάφορα χαρακτηριστικά τους και ένα βασικό στοιχείο διαχωρισμού αποτελεί το αν είναι εσωτερικού σημείου ή συνόρου - simplex. Οι δύο αλγόριθμοι που επελέγησαν στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας κατατάσσονται στους αλγορίθμους εσωτερικού σημείου και επίσης ανήκουν στους γεωμετρικούς αλγόριθμους. Ο πρώτος ονομάζεται ελλειψοειδής (Ellipsoid Method), αναπτύχθηκε από τον Khachiyan το 1979 και πρόκειται για τον πρώτο αλγόριθμο που αποδεικνύει ότι το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού επιλύεται σε πολυωνυμικό χρόνο. Παρότι από θεωρητικής πλευράς ο αλγόριθμος ελλειψοειδούς είναι μαθηματικά άρτιος και πολύ σημαντικός ιστορικά, σε πρακτικό επίπεδο και συγκρινόμενος με άλλες μεθόδους λειτουργεί πολύ αργά και χρειάζεται μεγάλο αριθμό επαναλήψεων για να συγκλίνει. Αρχικό στόχο της εργασίας αποτέλεσε η βελτίωση του αλγορίθμου, ώστε να λειτουργεί γρηγορότερα, καθώς και η εφαρμογή του σε προβλήματα οριακής ανάλυσης. Τόσο η εκτεταμένη βιβλιογραφική έρευνα όσο και πειραματικές αναλύσεις με χρήση Matlab έδειξαν ότι μικρές αλλαγές που μπορούν να εφαρμοστούν στον αλγόριθμο δεν αποδεικνύονται ικανές να τον βελτιώσουν τόσο, ώστε να γίνει ανταγωνιστικός ως προς άλλους χρησιμοποιούμενους αλγορίθμους, όπως την μέθοδο Simplex ([Dantzig 1947]) ή την IPM του Karmakar. Ειδικά για την περίπτωση προβλημάτων οριακής ανάλυσης, η εκμετάλλευση των οριακών τιμών στις μεταβλητές σχεδιασμού s, που ταυτίζονται με τις αντοχές των διατομών, επέτρεψε την χρήση του αλγορίθμου σε προβλήματα μεγάλου μεγέθους, χωρίς όμως να βελτιώνεται η απόδοσή του. Βεβαίως, στην περίπτωση που αγνοήθηκαν τα όρια αυτά ο αλγόριθμος τερμάτιζε πολύ νωρίς επειδή η τιμή της ακτίνας του αρχικού κύκλου ήταν άπειρη (inf). Λόγω της μεγάλης θεωρητικής αξίας του αλγορίθμου, τμήμα της εργασίας αφιερώθηκε στην συγκέντρωση και ανάλυση των μαθηματικών αποδείξεων των επιμέρους θεωρημάτων, λημμάτων και προτάσεων που τελικά οδηγούν στην άρτια θεμελίωσή του. Επίσης, κάνοντας χρήση του κώδικα Matlab της μεθόδου ελλειψοειδούς που δημιουργήθηκε στο πλαίσιο μεταπτυχιακής εργασίας του F. [Stallmann (2014)] και διατίθεται στο διαδίκτυο επιλύθηκαν παραδείγματα οριακής ανάλυσης. Η απόδοση της μεθόδου σε σχέση με την linprog που διαθέτει εγγενώς η Matlab είναι όντως αποκαρδιωτική. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι στις 6 επαναλήψεις της linprog αντιστοιχούσαν περί τις 6500 επαναλήψεις της μεθόδου ελλειψοειδούς, στις 15 της linprog περίπου 50000 της ελλειψοειδούς, ενώ όσο το μέγεθος του στιγμιοτύπου μεγάλωνε, τόσο η διαφορά γινόταν μεγαλύτερη. Ο δεύτερος αλγόριθμος που μελετήθηκε είναι ο αλγόριθμος ή μέθοδος σφαίρας (Sphere method), ο οποίος μετά την αρχική του διατύπωση το 2005 ([Murty 2005]), βελτιώθηκε και δημοσιεύτηκαν 5 παραλλαγές του έως και σήμερα. Ο συγκεκριμένος αλγόριθμος κατατάσσεται στους αλγορίθμους διόρθωσης και πρόβλεψης. Κάθε γενική επανάληψή του αποτελείται από δύο διακριτά υπολογιστικά σκέλη: το κεντροποιόν βήμα, με το οποίο διορθώνεται η λύση στην οποία είχε καταλήξει η προηγούμενη επανάληψη, και το βήμα καθόδου, με το οποίο γίνεται υπολογισμός της επόμενης λύσης. Ως μέθοδος μοιράζεται κοινά στοιχεία με τον προπομπό της, την μέθοδο βαρύτητας (Gravitational Method, [Chang, Murty (1989)]), δεδομένου ότι στο βήμα καθόδου ακολουθεί την λογική της “πτώσης” ενός σημείου στο οποίο επιδρά βαρυτικό πεδίο. Ωστόσο λόγω του κεντροποιού βήματος οι δύο μέθοδοι διαφοροποιούνται σημαντικά. Η μέθοδος βαρύτητας ανήκει στις μεθόδους συνόρου, ενώ η σφαίρας στις μεθόδους εσωτερικού σημείου. Οι ερευνητές που ανέπτυξαν την οικογένεια των μεθόδων σφαίρας (Murty, Oskoorouchi, Kabadi), διατείνονται ότι αυτές λειτουργούν ταχύτερα από τους υπάρχοντες αλγόριθμους σε διάφορους τύπους προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού. Η διαφορά γίνεται πιο έντονη όσο μεγαλώνει το μέγεθος του στιγμιοτύπου, αυξάνει η πυκνότητα (density) του μητρώου συντελεστών και οι περιορισμοί γίνονται σημαντικά περισσότεροι από τις μεταβλητές, m>>n. Στο πρόβλημα οριακής ανάλυσης με χρήση στατικού θεωρήματος ισχύει m>>n και τα στιγμιότυπα μεγαλώνουν πολύ σε μέγεθος όταν πρόκειται για πραγματικές κατασκευές. Τα μητρώα των συντελεστών, βεβαίως, δεν είναι πολύ πυκνά, ούτε όμως και τελείως sparse. Για παράδειγμα, στις περιπτώσεις που εξετάστηκαν εδώ τα μητρώα εμφάνιζαν μια πυκνότητα από ~ 5 % έως ~ 23 %. Τα παραπάνω εγείρουν το ενδιαφέρον, διότι υπάρχει η πιθανότητα η εφαρμογή των αλγορίθμων σφαίρας σε προβλήματα οριακής ανάλυσης να μειώνει σημαντικά τους χρόνους επίλυσής αυτών με υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό αποφασίστηκε στην παρούσα εργασία τα παραδείγματα που λύθηκαν με την μέθοδο ελλειψοειδούς να λυθούν και με κάποια μέθοδο σφαίρας. Για την τελευταία ήταν αναγκαίο να γραφεί κώδικας στην Matlab. Επελέγη η SM1 (Sphere method 1), η οποία αποτελεί την βάση και για τις άλλες SMs, δεδομένου ότι εκείνες προκύπτουν μέσω βελτιώσεων της πρώτης, και μπορεί έτσι να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός για μελλοντικό προγραμματισμό και των υπολοίπων SMs. Ο κώδικας γράφτηκε ακολουθώντας ακριβώς όσα αναφέρονται στην βιβλιογραφία για την SM1 ([Murty 2006a], [Murty 2006b]). Πριν την εφαρμογή του κώδικα της SM1 στα προβλήματα οριακής ανάλυσης, έγινε δοκιμή του σε πρόβλημα μητρώου 3x2 στο οποίο και λειτούργησε κανονικά. Το ίδιο συνέβη και σε ορισμένες περιπτώσεις των παραδειγμάτων οριακής ανάλυσης που εξετάστηκαν. Ωστόσο, παρατηρήθηκε ότι όσο το μέγεθος των στιγμιοτύπων μεγάλωνε, ο αλγόριθμος “εγκλωβιζόταν” σε σημεία και αδυνατούσε να δώσει λύση. Το σε ποια επανάληψη συνέβαινε αυτός ο “εγκλωβισμός” και ποια τιμή είχε υπολογίσει έως τότε επηρεαζόταν από τις παραμέτρους M, p της big-M augmentation διαδικασίας και τις ανοχές ε που χρησιμοποιούνταν. Παρά τα προβλήματα και την αδυναμία επίλυσης, το ποσοστό μείωσης της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης στα πρώτα βήματα που εκτελούνταν πάντοτε κανονικά ήταν πολύ μεγάλο (της τάξης του 90%). Κατά την γνώμη της συγγράφουσας της παρούσας εργασίας η παρατηρούμενη δυσλειτουργία μπορεί να οφείλεται καταρχάς στις χρησιμοποιούμενες στον κώδικα παραμέτρους και ανοχές. Για να βρεθούν οι τιμές εκείνες που σταθεροποιούν τον αλγόριθμο απαιτείται η επίλυση αρκετών στιγμιοτύπων, ώστε να μπορεί γίνει αντιληπτός ο ακριβής τρόπος με τον οποίο επηρεάζουν την λειτουργία του και να επιλεγούν τελικά οι βέλτιστες για κάθε μέγεθος στιγμιοτύπου. Επίσης, δεύτερος λόγος που οδηγεί σε παρέκκλιση της λειτουργίας από την επιθυμητή μπορεί να είναι ότι τα προβλήματα οριακής ανάλυσης περιέχουν εξ αρχής μεγάλο πλήθος ισοτικών περιορισμών, οι οποίοι χρειάζεται να μετατραπούν σε διπλές ανισότητες και στην συνέχεια να εφαρμοστεί η big-M augmentation διαδικασία, ώστε το χωρίο λύσεων να αποκτήσει μη κενό εσωτερικό. Με αυτόν τον τρόπο όμως ο χώρος όπου μπορεί να κινηθεί το εσωτερικό σημείο στην SM1 γίνεται από κάποια επανάληψη και μετά πολύ μικρού όγκου, γεγονός που δυσχεραίνει την εκτέλεσή του, αρκετά πριν γίνει μια ικανοποιητική προσέγγιση της λύσης. Εντούτοις και παρά τα ζητήματα που προαναφέρθηκαν, η μέθοδος σφαίρας φαίνεται πολλά υποσχόμενη. Κρίνεται ενδιαφέρον να προγραμματιστούν και οι υπόλοιπες εκδοχές της και να ερευνηθούν και να συγκριθούν η λειτουργία, η αποτελεσματικότητα και η απόδοσή τους σε διάφορες μορφές και μεγέθη στιγμιοτύπων. Επιπρόσθετα, και αφού ελεγχθούν με χρήση γλώσσας προγραμματισμού Matlab ή άλλης παρεμφερούς, κρίνεται χρήσιμο να προγραμματιστούν και σε lower ή low-level γλώσσες προγραμματισμού, ώστε εκτός του αριθμού των επαναλήψεων να καταστούν συγκρίσιμοι και οι χρόνοι επίλυσης των διαφόρων στιγμιοτύπων με προϋπάρχοντες αλγορίθμους. Αν οι αλγόριθμοι γίνουν ευσταθείς και λειτουργήσουν όπως προοιωνίζεται από τις πρώτες δοκιμές, θα επιταχύνουν σημαντικά την επίλυση προβλημάτων οριακής ανάλυσης.	el
heal.abstract	Analysis and design of safe, serviceable and economic structures constitute the working field and main aim of a civil engineer. Safety dictates the maintenance of structural stability, even in the worst load cases possible. Serviceability commands that a structure fulfils its fundamental purpose without any deviation from its predicted and demanded performance. On the other hand, economy helps to prevent over-sizing and leads to choices which exploit the total strength capacity of a structure. Safe design and total usage of available resistance are simultaneously satisfied at the exact moment preceding structural failure. The term failure may refer to a structure becoming a mechanism (partial or total collapse) or exceeding predefined allowable deformations or reaching any other chosen limit state. If structural failure is identified with collapse there exists an abundance of methods for structural analysis. Α different objective, such as maximizing the applied loads for a given structure or minimizing its weight for a given load case, may be set in each problem. Most methods monitor the elastic and inelastic behaviour of a structure until it collapses. However, the limit load (plastic collapse load), the minimum weight and the structure's form at collapse can be calculated directly by applying limit analysis methods. Limit analysis assumes a perfectly plastic material. The mathematical formulation of the problem using matrix calculus combined with the basic theorems of limit analysis (static theorem, kinematic theorem, uniqueness theorem) let us apply mathematical optimization to limit analysis problems. Mathematical programming can lead to an optimum solution of an objective function subjected to several constraints. In this way the limit state of a structure can be defined, in which equilibrium and compatibility conditions are simultaneously satisfied right before collapse (or failure in general). When in a problem the material behaves in a rigid-perfectly plastic manner, the yield criteria are linearised and there exist no constraints on the deformations and the movements of the structure, the problem obtained is a linear optimisation programme. Here the linear programme was formulated using the static theorem of plasticity. There are several algorithms capable of solving LPs. Each of them shows advantages and disadvantages depending on the problem which it is applied to. This is the reason why each algorithm either is or is not appropriate for a certain class of problems. LP optimisation algorithms are classified based on their individual characteristics. A basic differentiation is made between algorithms that search the optimal solution moving in the interior of the feasible region (interior point methods) and those moving on the boundary. Both algorithms studied in this thesis are Interior Point Methods and geometric algorithms. The first one, called Ellipsoid Method, was firstly introduced by Khachiyan in 1979. It was the first algorithm to prove that LP can be solved in polynomial time. Ellipsoid algorithm has a solid mathematical base and is considered really important in the mathematical programming science from a theoretical and historical point of view. However, it performs really poorly when applied to LPs, being very slow and demanding a vast number of iterations before it converges to a solution. The initial scope of the thesis was to improve the ellipsoid algorithm so it performs faster and then to employ it in limit analysis problems. Extensive research of relevant literature and trial-runs of Matlab code showed that small changes implemented on the algorithm are unable to improve it sufficiently enough to make it competitive with other existing algorithms, such as simplex (Dantzig 1960) or IPMs. In limit analysis problems though, utilization of bounds on design variables which represent strengths of the cross-sections, when the radius of the initial sphere is computed, makes a great difference. Even in small problems, the default value obtained for the radius was Inf (overflow) and the algorithm could not be executed. The radius computed using the aforementioned bounds helped with this obstacle. Part of the work done was dedicated to collecting, studying and presenting proofs of the theorems, lemmas and propositions that constitute the foundation of the method. Using a Matlab code created and uploaded on the web by F. [Stallmann (2014)] limit analysis examples (Examples 1 and 2) were solved. The ellipsoid method's performance in comparison to the linprog function of Matlab (which calls simplex or a variant of Mehrotra's predictor-corrector algorithm) is disheartening. Indicatively it is mentioned that in an instance solved after 6 linprog iterations 6500 ellipsoid method iterations were needed, and in another instance solved after 15 linprog iterations approximately 50000 ellipsoid method iterations were needed. The difference kept growing with the size of the instance. The second algorithm studied in the thesis is the sphere method (SM). The method was initially introduced by K.G.Murty in 2005 ([Murty 2005]) and has underwent 5 alterations till today. The algorithm is classified as predictor-corrector algorithm. Each of its major iterations consists of two distinguished steps: a centering step, which corrects a previously found solution, and a descent step, which predicts the next solution. The SM shares notions and procedures with its predecessor, the gravitational method ([Chang, Murty (1989)]), as it also executes falls of a given point which is attracted by a gravitational force. However, the centering step differentiates these two methods significantly. As a result the gravitational method behaves as a boundary method, while sphere methods are considered interior point methods. Researchers who developed sphere methods claim that they outperform existing algorithms when employed in some LP problems. This beneficial effect becomes more intense with the growth in the size of instances, with bigger density of their matrices and when the number of constraints is much greater than the number of variables m>>n. Problems of limit analysis which are formulated according to the static theorem present m>>n and vast sizes when they correspond to real life structures. Their matrices, however, are not very dense, but they are not completely sparse either. In the cases examined here densities ranged from ~5 % to ~23 %. The aforementioned are interesting for a civil engineer, because their implementation in limit analysis problems could accelerate greatly their solution. Thus, the choice made to include a thorough study of SMs in this thesis and to employ them in solving Examples 1 and 2. With a code for SMs not available it was necessary to develop a new one. SM1 was chosen to be programmed, because it constitutes the basis for every SM and also shares many procedures with them. So it could facilitate their programming should it be later attempted. The algorithm was programmed according to its description found in relevant articles ([Murty 2006a], [Murty 2006b]). The code was initially tested on a small instance (coefficient matrix 3x2) and worked as it was supposed to. Then it was implemented in Examples 1 and 2 its performance was not constant. First of all, the code's performance and speed were significantly affected by variations made in several programming parameters, such us M, p of big-M augmentation, choice of initial point, etc. This was something expected. However, in some cases it was observed that such changes in parameters, especially in the approximations ε used, were capable of causing major instabilities in the code. These instabilities had a gross impact on the algorithm's performance and often resulted in the code's failure (termination without producing the solution that was already known to exist). Despite these problems, though, reduction in the value of the objective function in the first few iterations was large even in the unsuccessful cases (> 80 %). According to the writer of this thesis, the previously described malfunction can be mainly attributed to the lack of a deep understanding of how the parameters and approximation values work, which ultimately lead to selecting inappropriate ones. Some tests were run to better comprehend their function, but more need to be executed if we want to find a deterministic way to choose the right parameters for every instance. A second reason that probably caused this deviation from the wanted behaviour is the fact that limit analysis problems include many equality constraints. Each equality constraint needs to be converted into a pair of inequality constraints. In order to secure a ful-dimensional area of feasible solutions, after this conversion of the constraints big-M augmentation is applied. This way the area which is available for an interior point to move in decreases significantly with increased iterations and becomes too small for the algorithm to be executed, prior to succeeding in finding a good approximation of the solution. In conclusion, SM1 was found to be very promising, but several problems have to be fixed. In addition to fixing such problems, the rest of SMs, which is claimed to be faster, can be programmed and more instances can be solved. Thus the methods can be examined and compared to each other and to other long established algorithms for LPs. If their Matlab codes become stable and run smoothly, these algorithms may be programmed with lower- or low- level programming languages, in order for the duration of their execution to be compared to simplex's and IPMs'. Finally, if they are proven to solve limit analysis problems faster than other known algorithms, structural optimisation may become more approachable and be more frequently used by civil engineers.	en
heal.advisorName	Κουμούσης, Βλάσιος	el
heal.committeeMemberName	Σπηλιόπουλος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Παπαδόπουλος, Βησσαρίων	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Τομέας Δομοστατικής. Εργαστήριο Στατικής και Αντισεισμικών Ερευνών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	true