Ειδικές ομάδες πινάκων

Κάσσης, Πέτρος; Kassis, Petros

dc.contributor.author	Κάσσης, Πέτρος	el
dc.contributor.author	Kassis, Petros	en
dc.date.accessioned	2016-06-24T12:25:50Z
dc.date.available	2016-06-24T12:25:50Z
dc.date.issued	2016-06-24
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/42841
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.11693
dc.rights	Default License
dc.subject	Ειδική ομάδα πινάκων	el
dc.subject	Ομάδες	el
dc.subject	Πίνακες	el
dc.subject	Άλγεβρα	el
dc.subject	Γραμμική ομάδα	el
dc.subject	Special groups	en
dc.subject	Linear group	el
dc.subject	Groups	el
dc.subject	Algebra	el
dc.subject	Matrix	el
dc.title	Ειδικές ομάδες πινάκων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γραμμική και πολυγραμμική άλγεβρα	el
heal.classification	Θεωρία πινάκων	el
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/f7a5459fb04ec1583a82c76d344fcd15a2d625e8
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2016-03-03
heal.abstract	Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με την παρουσίαση διαφόρων Ειδικών Ομάδων Πινάκων όπως, ειδικότερα, αποτελούν οι Γενικές Γραμμικές Ομάδες, οι Ορθογώνιες Ομάδες καθώς, επίσης, και οι Ομάδες Πινάκων Lie. Είναι, βεβαίως, απαραίτητη η αναφορά και η επεξήγηση κάποιων σημείων από τη Γραμμική Άλγεβρα αλλά και την Αναλυτική Γεωμετρία, αφού στις παραπάνω ομάδες πινάκων γίνεται χρήση και επέκταση γνωστών θεωρημάτων και ορισμών της Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας. Ειδικότερα, η παρούσα διπλωματική εργασία διαρθρώνεται, μετά την εισαγωγή - που επέχει θέση σύντομης ιστορικής αναφοράς στα θέματα, τα οποία σχετίζονται με την εξέλιξη των ιδεών σχετικά με τις Ειδικές Ομάδες Πινάκων που αναφέρονται στην διπλωματική εργασία αυτή – σε τρία (3) κεφάλαια. Στο πρώτο (1ο) κεφάλαιο ορίζεται η έννοια της ομάδας και δίνονται παραδείγματα. Ορίζονται, επίσης, οι έννοιες του ομομορφισμού και του ισομορφισμού, καθώς και του σώματος και της ομάδας των τετραδικών αριθμών (quaternions). Μελετώνται, επίσης, οι γραμμικές απεικονίσεις, τόσο για διανύσματα όσο και για πίνακες. Επιπροσθέτως, περιγράφεται αναλυτικά η άλγεβρα πινάκων Μ_n (Κ). Τέλος, ορίζεται η Γενική Γραμμική Ομάδα GL(n,K) και αποδεικνύονται διάφορες ιδιότητες αυτής. Στο δεύτερο (2ο) κεφάλαιο παρουσιάζεται το εσωτερικό γινόμενο και δίνονται οι σημαντικότερες ιδιότητες αυτού. Υπενθυμίζονται έννοιες όπως αυτές του μήκους ενός διανύσματος αλλά και του αναστρόφου και συζυγή πίνακα. Ορίζονται επίσης η ορθογώνια ομάδα O(n), η ορθομοναδιαία ομάδα U(n) και η συμπλεκτική ομάδα Sp(n), καθώς, επίσης, και η ειδική ορθογώνια ομάδα SO(n) και η ειδική ορθομοναδιαία ομάδα SU(n). Έπειτα γίνεται λόγος, για το ποιες εκ των παραπάνω ομάδων είναι ισομορφικές, ενώ το κεφάλαιο κλείνει με αναφορά στην συμμετρία (ή κατοπτρισμός) που ορίζεται στον R^n. Στο τρίτο (3ο) κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση των ομάδων πινάκων Lie. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των ομάδων πινάκων Lie, καθώς, επίσης, και διάφορα παραδείγματα ομάδων πινάκων Lie, όπως οι γενικές γραμμικές ομάδες GL(n,R) και GL(n,C), οι ειδικές γραμμικές ομάδες SL(n,R) και SL(n,C), οι γενικευμένες ορθογώνιες ομάδες και οι ομάδες Lorentz κ.α. Τέλος, ορίζονται η συμπάγεια και η συνεκτικότητα και δίνονται παραδείγματα, γίνεται αναφορά για ομομορφισμό και ισομορφισμό ομάδων πινάκων Lie, ενώ αναφέρεται και η πολική παραγοντοποίηση για τις SL(n,R) και SL(n,C).	el
heal.abstract	This thesis is a presentation of Special Groups of Matrices such as General Linear Groups, Orthogonal Groups and Matrix Lie Groups. Some elements of the theory of linear algebra and analytic geometry are also mentioned and explained, in order to make easier the understanding of special groups of matrices above, because many of these elements of the theory of linear algebra and analytic geometry will be used here. Specifically, this thesis after the introduction, which is a brief historical report to these subjects, which concern the evolution of these mathematical ideas from special groups of matrices, which we discuss in this thesis, consists of three chapters. At the first chapter, theΝmeaningΝofΝ‘ group ’ is defined and examples are given. Also, homomorphism and isomorphism as well as fields and quaternions are defined. Linear maps, both for vectors and matrices are presented. Furthermore, the algebra of matrices Μ ୬ ሺȥሻ is presented analytically. In conclusion, the General Linear Group GLሺn,Kሻ is defined and many definitions and propositions of this group are referred and proven. At the second chapter, the inner product is presented and its most important properties are mentioned. Furthermore, some elements of linear algebra such as the length of a vector or the conjugate matrix, the transpose matrix etc are reminded. The orthogonal group O(n), the unitary group U(n ) and the symplectic group Sp (n ) as well as the special orthogonal group SO (n ) and the special unitary group SU (n) are also defined. Then, it is discussed which of the groups above are isomorphic and, in conclusion, reflections in ℝ ୬ are presented. At the third chapter, Matrix Lie Groups are presented. A definition of a Matrix Lie Group is given as well as some examples of Matrix Lie Groups, such as the general linear groups GLሺn,ℝሻ and GLሺn,ℂሻ , the special linear groups SLሺn,ℝሻ and SLሺn,ℂሻ , the generalized orthogonal and Lorentz groups etc. In conclusion, compactness and connectedness are defined, homomorphisms and isomorphisms of Matrix Lie Groups are mentioned and the polar decomposition for SLሺn,ℝሻ and SL ሺ n,ℂ ሻ is referred.	en
heal.advisorName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	62 σ.
heal.fullTextAvailability	true