Martingale και μερικές διαφορικές εξισώσεις

Σπαής, Γεώργιος; Spais, Georgios

dc.contributor.author	Σπαής, Γεώργιος	el
dc.contributor.author	Spais, Georgios	en
dc.date.accessioned	2016-07-29T08:42:31Z
dc.date.available	2016-07-29T08:42:31Z
dc.date.issued	2016-07-29
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/43340
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.12865
dc.rights	Default License
dc.subject	Μερικές διαφορικές εξισώσεις	el
dc.subject	Martingale	en
dc.subject	Partial differential equation	en
dc.title	Martingale και μερικές διαφορικές εξισώσεις	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Στοχαστικός λογισμός	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2016-06-29
heal.abstract	Μια αρκετά σvημαντική κατηγορία σvτοχασvτικών διαδικασvιών είναι τα martingales, τα οποία έχουν την εξής ιδιότητα E(Xn \| X0,X1,...,Xn−1) = Xn−1 ∀n η οποία σvημαίνει ότι η γνώσvη του παρελθόντος, δεν επιρεάζει το μέλλον. Η μελέτη αυτών ξεκίνησvε από τα τυχερά παιχνίδια. Στην πραγματικότητα η ονομασvία martingale, προέρχεται από μια παλιά σvτρατηγική, όπου όταν κάποιος χάνει σvε μια παρτίδα ενός τυχερού παιχνιδίου, τότε διπλασvιάζει το σvτοίχημα σvτην επόμενη παρτίδα για να επανακτήσvει τα χρήματα του. Τα martingales εισvάχθηκανσvτηνΘεωρίαΠιθανοτήτωναπότον Paul Levy το 1934. Αρκετοί είναι αυτοί που ασvχολήθηκαν με την θεωρία των martingales, αλλά τα περισvσvότερα αποτελέσvματα της θεωρίας οφείλονται σvτον Joseph Leo Doob. Η θεωρία των Martingales έχει μεγάλη ευρύτητα εφαρμογών, σvτη Θεωρία πιθανοτήτων, σvτη Μαθηματική Ανάλυσvη, σvτις Μερικές Διαφορικές Εξισvώσvεις, καθώς και σvε χώρους της επισvτήμης όχι καθαρά μαθηματικούς, όπως σvτα Χρηματοοικονομικά. Σε αυτή την διπλωματική εργασvία θα δούμε τις βασvικές ιδιότητες των martingales και εφαρμογές τους σvτις Μερικές Διαφορικές Εξισvώσvεις. Στο πρώτο κεφάλαιο της εργασvίας, εισvάγεται η έννοια της δεσvμευμένης μέσvης τιμής, ως τυχαίας μεταβλητής. Η έννοια αυτή είναι απαραίτητη για τον ορισvμό των martingales. Στο επόμενα δύο κεφάλαια, αναπτύσvσvονται οι βασvικές ιδιότητες των martingales διακριτού και σvυνεχούς χρόνου. Ειδικότερα, σvτο δεύτερο κεφάλαιο παρατίθεται μια εφαρμογή των martingales διακριτού χρόνου, το λήμμα των Calderon-Zyqmund, του οποίου η απόδειξη βασvίζεται σvτην κατασvκευεί ενός martingale. Βάσvη αυτού του λήμματος, μια ολοκληρώσvιμη σvυνάρτησvη είναι φραγμένη, εκτός από ένα σvύνολο που έχει μικρό μέτρο. Στο τέταρτο κεφαλαίο, πραγματοποιειται μια μικρή εισvαγωγή σvτο σvτοχασvτικό λογισvμό, με την ανάπτυξη των ιδιοτήτων του σvτοχασvτικού ολοκληρώματος Ito και της Formula Ito. Το σvτοχασvτικό ολοκληρώμα Ito είναι ένα martingales, οπότε ο σvτοχασvτικός λογισvμός αποτελεί ένα απαραίτητο κόμματι αυτής της εργασvίας. Στο τελευταίο κεφάλαιο επιτελείται η σvύνδεσvη των Μερικών Διαφορικών εξισvώσvεων, με τον σvτοχασvτκό λογισvμό. Η σvύνδεσvη αυτή βασvίζεται πάνω σvτην Formula Ito. Πιο σvυγκεκριμένα, η λύσvη ενός προβλήματος Dirichlet, για ένα μερικό γραμμικό διαφορικό τελεσvτή δευτερής τάξης, αναπαράσvταται σvε όρους μέσvης τιμής ενός martingale. Ας δούμε για παράδειγμα την περίπτωσvη του τελεσvτή Laplace. ΄Εχουμε το εξής πρόβλημα Dirichlet 4u = 0σvτο D u = f σvτο ∂D με D μια ανοικτή μπάλα του Rn. Τότε, δεδομένου ότι το πρόβλημα έχει λύσvη, αυτή θα γράφεται ως εξής u(x) = E[f(x + Bτx)]∀x ∈ D όπου (Bt)t≥0 μια n-διάσvτατη κίνησvη Brown και τx ο χρόνος πρώτης εξόδου της (x + Bt)t≥0 από την D. Αυτό το αποτέλεσvμα γενικεύται και για άλλους τελεσvτές, μόνο που σvτη θέσvη της κίνησvης Brown, θα έχουμε κάποια άλλο martingale.	el
heal.advisorName	Λουλάκης, Μιχαλής	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλης	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	85 σ.
heal.fullTextAvailability	true