Μη γραμμικές ιδιομορφές. Θεωρία και εφαρμογές σε πολυβάθμια συστήματα

Σβώλος, Λάμπρος; Svolos, Lampros

dc.contributor.author	Σβώλος, Λάμπρος	el
dc.contributor.author	Svolos, Lampros	en
dc.date.accessioned	2016-10-05T09:35:02Z
dc.date.available	2016-10-05T09:35:02Z
dc.date.issued	2016-10-05
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/43748
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.5754
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Δομοστατικός Σχεδιασμός και Ανάλυση των Κατασκευών”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Μη γραμμικές ιδιομορφές	el
dc.subject	Μη γραμμικά συστήματα	el
dc.subject	Συντηρητικά συστήματα	el
dc.subject	Μη συντηρητικά συστήματα	el
dc.subject	Υπολογιστικές μέθoδοι	el
dc.title	Μη γραμμικές ιδιομορφές. Θεωρία και εφαρμογές σε πολυβάθμια συστήματα	el
heal.type	masterThesis
heal.classification	Μη γραμμικά δυναμικά συστήματα	el
heal.classification	Στατική και δυναμική ανάλυση των κατασκευών	el
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/864b1056395b604e2a742799518d6f42083bf596
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/2a80a2e119d24970988f906c4e19065d9d4f9dce
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2016-07-15
heal.abstract	Οι προσομοιώσεις των κατασκευών απαιτούν τη χρήση πολύπλοκων μοντέλων έτσι ώστε να είναι ακριβείς σύμφωνα με τα πειραματικά δεδομένα. Αφού εφαρμόσουμε μια τεχνική πεπερασμένων στοιχείων, καταλήγουμε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων με τις οποίες ο μηχανικός μπορεί να εκτιμήσει ποσοτικά και ποιοτικά την κρίσιμη συμπεριφορά της κατασκευής που εξετάζει. Στην περίπτωση της γραμμικής συμπεριφοράς του συστήματος, η οποία είναι μια εξιδανίκευση στις εφαρμογές μηχανικού, υπάρχει μια καθιερωμένη θεωρία. Η έννοια της ιδιομορφής σε αυτή τη θεωρία ταλαντώσεων είναι θεμελιώδης. Μια πληθώρα από τεχνικές, βασισμένη στις γραμμικές ιδιομορφές (ΓΙ), έχει εφαρμοσθεί σε επιστημονικά πεδία όπως της αντισεισμικής τεχνολογίας. Οι μαθηματικές ιδιότητες των γραμμικών ιδιομορφών βοηθούν στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο ένα γραμμικό σύστημα ταλαντώνεται. Ειδικότερα, η παρατήρηση ότι οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να αποσυζευχθούν, απλοποιεί τον τρόπο με τον οποίο το σύστημα αποκρίνεται, διότι μπορούμε να εκμεταλλευτούμε τις δύο χρήσιμες ιδιότητες των γραμμικών ιδιομορφών. Πρώτον, η ιδιότητα της αναλλοίωτης ως προς την κίνηση εκφράζεται από το γεγονός ότι εάν η κίνηση ξεκινήσει από μια συγκεκριμένη ιδιομορφή παραμένει σε αυτό τον τρόπο ταλάντωσης για κάθε χρόνο. Δεύτερον, υπάρχει η ιδιότητα της ιδιομορφικής υπέρθεσης με την οποία οι ταλαντώσεις μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικοί συνδυασμοί ξεχωριστών γραμμικών ιδιομορφικών κινήσεων. Παρόλο που η προαναφερθείσα θεωρία είναι οικεία στους μηχανικούς, οι σύγχρονες απαιτήσεις σχεδιασμού και η πολυπλοκότητα των προβλημάτων καθιστούν αναγκαία την εξέταση των μη γραμμικών χαρακτηριστικών. Επομένως, υπάρχει η ανάγκη για αποτελεσματικές και ευρέως εφαρμόσιμες μεθόδους ανάλυσης για τη μη γραμμική δυναμική απόκριση συστημάτων. Σε αυτή τη μεταπτυχιακή εργασία γίνεται η προσπάθεια να παρουσιαστεί η έννοια της μη γραμμικής ιδιομορφής (ΜΓΙ) που είναι μια επέκταση της γνωστής έννοιας των γραμμικών ιδιομορφών σε μη γραμμικά συστήματα. Οι ΜΓΙ θέτουν τα θεμέλια για την ερμηνεία της συμπεριφοράς των μη γραμμικών συστημάτων, διότι μπορούν να αναδείξουν μη γραμμικά φαινόμενα που δεν υπάρχουν στη γραμμική θεωρία. Στο κεφάλαιο 1 υπάρχει μια σύντομη εισαγωγή στην κλασσική θεωρία ταλαντώσεων. Περιγράφεται η περίπτωση συντηρητικών συστημάτων και ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζονται τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιομορφές μέσω της επίλυσης της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επιπλέον, η περίπτωση μη συντηρητικών συστημάτων παρουσιάζεται, επειδή η έννοια των ιδιολύσεων μπορεί να ορισθεί και σε αυτά τα συστήματα. Σε αυτό το κεφάλαιο, όλες οι λεπτομέρειες που παρουσιάζονται είναι για εισαγωγικό σκοπό του υπόλοιπου τμήματος της εργασίας. Στο κεφάλαιο 2 υπάρχει ο πιο άμεσος ορισμός της ΜΓΙ. Το 1960, ο R. M. Rosenberg θεώρησε ότι ένα συντηρητικό μη γραμμικό σύστημα ταλαντώνεται σε μια ιδιομορφή, όταν όλες οι μάζες εκτελούν περιοδικές κινήσεις της ίδιας περιόδου και οι οποίες διέρχονται ταυτόχρονα από το σημείο ισορροπίας, ενώ παράλληλα, σε κάθε χρονική στιγμή η θέση της κάθε μάζας προσδιορίζεται μονοσήμαντα από τη θέση μιας οποιασδήποτε από αυτές. Με άλλα λόγια, μια ΜΓΙ είναι μια συγχρονισμένη ταλάντωση του συστήματος. Αυτός ο ορισμός είναι συνεπής ως προς τις ΓΙ που εμφανίζονται σε ένα γραμμικό σύστημα. Υπάρχουν διαφορετικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των ΜΓΙ ενός διακριτού συστήματος. Παρόλο που οι πρώτες τεχνικές ήταν αναλυτικές, η μεταπτυχιακή εργασία εστιάζει σε δύο υπολογιστικές μεθόδους. Η μια μέθοδος περιγράφηκε από τους M. Peeters, R. Vinguié, G. Sérandour, G. Kerschen and J-C. Golinval το 2009. Αυτή η μέθοδος στηρίζεται σε δύο βασικά βήματα, που καλούνται διαδικασία σκόπευσης και pseudo-arclength τεχνική συνέχειας των ΜΓΙ. Αυτά τα δύο βήματα πραγματοποιούνται διαδοχικά και επαναλαμβάνονται ξεκινώντας από μια γνωστή γραμμική ιδιομορφή (για χαμηλές ενέργειες) με σκοπό να σχεδιαστεί το διάγραμμα συχνότητας-ενέργειας (FEP). Σε κάθε ενεργειακό επίπεδο υπάρχουν διαφορετικές ιδιομορφές και κατ’ επέκταση υπάρχει η ανάγκη σχεδιάσης αυτού του διαγράμματος. Η άλλη αριθμητική μέθοδος προσδιορισμού ΜΓΙ περιγράφτηκε από τον J. Slater το 1996. Η προαναφερθείσα μέθοδος χρησιμοποιεί αλγόριθμο βελτιστοποίησης με στόχο να ελαχιστοποιήσει τη συνάρτηση κόστους που σχετίζεται με την περιοδική συνθήκη. Εάν μπορούμε να βρούμε τις αρχικές συνθήκες και τον χρόνο με τους οποίους η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστο, τότε αυτές οι συνθήκες και η περίοδος του χρόνου δημιουργούν μια περιοδική λύση (ΜΓΙ κατά Rosenberg) Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζεται μια μεθοδολογία που επεκτείνει στα μη συντηρητικά συστήματα την έννοια της ΜΓΙ. Ο Shaw και ο Pierre όρισαν μια γραμμική ιδιομορφή ως την κίνηση που λαμβάνει χώρα σε μια δισδιάστατη αναλλοίωτη πολλαπλότητα στο χώρο φάσης του συστήματος. Βασισμένοι σε αυτόν τον ορισμό και απαλείφοντας τον χρόνο από το πρόβλημα, καταλήγουμε σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τη γεωμετρία της πολλαπλότητας. Επειδή, οι αναλυτικές προσεγγίσεις ισχύουν για ασθενώς μη γραμμικά συστήματα σε τοπικό επίπεδο αναπτύχθηκε με τη συνεισφορά και του E. Pesheck μια τύπου Galerkin προσέγγιση για τις ΜΓΙ. Στη μεταπτυχιακή εργασία απεικονίζεται η γεωμετρία των πολλαπλοτήτων που παράγονται σύμφωνα με την τελευταία μέθοδο. Στο κεφάλαιο 4 εξετάζεται μια διβάθμια διατμητική κατασκευή. Αυτή η εφαρμογή επιλέχθηκε με σκοπό να αναδειχθούν μη γραμμικά φαινόμενα που συμβαίνουν σε μια κατασκευή πολιτικού μηχανικού. Υπολογίζουμε τις ΜΓΙ για τη συγκεκριμένη κατασκευή και τις συγκρίνουμε με τις γραμμικές ιδιομορφές. Είναι προφανές ότι χρησιμοποιώντας τις γραμμικές ιδιομορφές σε αναλύσεις θα προκύψουν αποκλίσεις από την πραγματική συμπεριφορά της κατασκευής. Μια λύση αυτού του προβλήματος είναι η ανάπτυξη δυναμικών μοντέλων με λιγότερους βαθμούς ελευθερίας. Η έλλειψη της αρχής της υπέρθεσης θα δημιουργήσει δυσκολίες σε αυτήν την προσπάθεια. Αυτό το πεδίο είναι ανοιχτό για μελλοντική έρευνα με σκοπό τη δημιουργία μη γραμμικής ιδιομορφικής ανάλυσης με χρήση των ΜΓΙ.	el
heal.abstract	The simulations of structures require the usage of sophisticated models in order to be accurate with respect to experiments. After implementing a finite element technique, it is produced a system of differential equations with which the engineer can estimate quantitatively and qualitatively the critical behavior of a structure. In case of the linear behavior which is an idealization in engineering applications there is a well-established theory. The concept of normal mode is fundamental in this theory of linear vibrations. A plethora of techniques based on the linear normal modes (LNMs) has been applied to scientific fields such as earthquake engineering. The mathematical properties of LNMs pave the way for understanding how a linear system vibrates. Specifically, the observation that the governing equations of motion can be decoupled simplifies the problem of how the system responds because one can take advantage of the two useful properties of LNMs. Firstly, the property of motion invariance is expressed by the fact that if the motion is initiated on one specific LNM then it remains in this vibration way for all time. Secondly, there is the property of modal superposition with which oscillations can be expressed as linear combinations of individual LNM motions. Despite the fact that the aforementioned theory is familiar to engineers, the modern design requirements and the complexity of engineering problems necessitate the consideration of nonlinearities. Thus, there is a need for efficient and broadly applicable analysis methods for nonlinear structural dynamics. In this master thesis, there is an attempt to present the concept of nonlinear normal modes (NNMs) which is an extension of the known notion of LNMs in the nonlinear systems. The NNMs laid the foundations for interpreting the behavior of nonlinear systems because they can highlight nonlinear phenomena which do not exist in the linear theory. In chapter 1, there is a short introduction to classical linear theory of vibrations. It is described the case of conservative system and how eigenvectors and eigenvalues are computed by solving the characteristic equation. Moreover, the case of nonconservative system is presented because a concept of eigensolutions can be defined in these systems. In this chapter, all details are presented for introductory purpose to the rest thesis. In chapter 2, there is the most straightforward definition of a NNM. In the 1960s, R. M. Rosenberg considered that a conservative nonlinear system vibrates in normal modes when all masses execute periodic motions of the same period, when all of them pass through the equilibrium point at the same instant and when, at any time t, the position of all the masses is uniquely defined by the position of any one of them. In other words, a NNM is a vibration in unison of the system (i.e. synchronous oscillation). This definition is consistent with the LNM if we study a linear system. There are different methods for computing NNMs of discrete systems. In spite of the fact that the first techniques were analytical, the master thesis focus on two computational methods. One computational method was described by M. Peeters, R. Vinguié, G. Sérandour, G. Kerschen and J-C. Golinval in 2009. This method relies on two main steps, namely a shooting procedure and a pseudo-arclength technique for the continuation of NNMs. These two steps are realized consecutively and repeatedly beginning from the known LNM (for low energies) in order to draw the Frequency-Energy Plot (FEP). In each energy level there are different NNMs so the FEP is a necessary figure if we want to predict the behavior of nonlinear system. The other numerical method for determining NNMs was introduced by J. Slater in 1996. The aforementioned method uses an optimization algorithm in order to minimize a cost function which is related to the periodicity condition. If we find the initial conditions and the period with which objective function reaches the minimum value (equals approximately zero) then these conditions and period create a periodic solution with the specific period (NNM by Rosenberg). In chapter 3, a methodology is presented which extends to non-conservative systems and introduces a different perspective the concept of NNMs. S.W. Shaw & C. Pierre defined a normal mode of motion for the nonlinear, autonomous system as a motion which takes place on a two-dimensional invariant manifold in the system’s phase space. Based on this specific definition we can eliminate the time dependence in the problem. This procedure yields a set of equations for the geometry of manifold. Shaw & Pierre followed analytical techniques in order to construct the manifolds locally for weakly nonlinear systems. Because of limited applicability, E. Pesheck, C. Pierre and S. Shaw developed a galerkin-based approach for accurate NNMs. In this master thesis, some results are presented about this technique. In chapter 4, a shear building is examined as a two-degree-of-freedom system. This engineering application was chosen in order to highlight the nonlinear phenomena which take place in a civil engineering structure. Computing the NNMs for the specific structure we can compare the results with the LNMs. It is obvious that using LNMs as base for an analysis the results of this analysis will deviate from the reality. A solution for this problem is the development of reduced-order models of nonlinear dynamical systems. The lack of a superposition principle will create problems in this endeavor. This field is open for future research in order to create a nonlinear modal analysis technique using NNMs.	en
heal.advisorName	Κουμούσης, Βλάσιος	el
heal.committeeMemberName	Κουμούσης, Βλάσιος	el
heal.committeeMemberName	Νεραντζάκη, Μαρία	el
heal.committeeMemberName	Λαγαρός, Νικόλαος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	108 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true