Ανάπτυξη Αδρομερών Μοντέλων με τη μέθοδο Kriging για την Ανάλυση Αξιοπιστίας των Κατασκευών

Μαντέλος, Μιχάλης; Mantelos, Michalis

dc.contributor.author	Μαντέλος, Μιχάλης	el
dc.contributor.author	Mantelos, Michalis	en
dc.date.accessioned	2017-06-12T09:08:34Z
dc.date.available	2017-06-12T09:08:34Z
dc.date.issued	2017-06-12
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/44988
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.7043
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μεταπτυχιακή εργασία. Διεπιστημονικό - Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) " Δομοστατικός Σχεδιασμός και Ανάλυση των Κατασκευών"	el
dc.rights	Default License
dc.subject	Προσομοίωση πειραμάτων	el
dc.subject	Αξιοπιστία κατασκευών	el
dc.subject	Πιθανοτικός σχεδιασμός	el
dc.subject	Γκαουσιανές ανελίξεις	el
dc.subject	Αδρομερή μοντέλα	el
dc.subject	Γραμμική πρόβλεψη	el
dc.subject	Linear predictor	en
dc.subject	Surrogate models	en
dc.subject	Gaussian Processes	en
dc.subject	Probabilistic design	en
dc.subject	Reliability of Structures	en
dc.subject	Computer Experiments	en
dc.subject	Monte Carlo	en
dc.subject	Kriging	el
dc.subject	Subset Simulation	en
dc.subject	Μέθοδος των υποσυνόλων	el
dc.subject	Structural Safety	en
dc.title	Ανάπτυξη Αδρομερών Μοντέλων με τη μέθοδο Kriging για την Ανάλυση Αξιοπιστίας των Κατασκευών	el
dc.title	Development of Kriging Surrogate Models for the Reliability Analysis of Structures	en
heal.type	masterThesis
heal.classification	Αξιοπιστία Κατασκευών	el
heal.classification	Πιθανότητες	el
heal.classification	Στατιστική	el
heal.classification	Reliability (Engineering)--Mathematical models	en
heal.classificationURI	http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh2010110623
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-03-02
heal.abstract	Η ανάλυση αξιοπιστίας είναι ένα επιστημονικό πεδίο, που σκοπό έχει να αντιμετωπίσει προβλήματα με αβεβαιότητες, με τρόπο πιθανοτικό. Στην αξιοπιστία των κατασκευών τέτοιες αβεβαιότητες είναι συνήθεις, και πηγάζουν από τις ιδιότητες των υλικών, τη γεωμετρία του φορέα, την κατασκευή, τη μαθηματική προσομοίωση, τα επιβαλλόμενα φορτία. Η πιο κοινή αντιμετώπιση τέτοιων προβλημάτων είναι ο διαχωρισμός των αβέβαιων μεγεθών σε ευμενή και δυσμενή, και η χρήση μειωτικών και αυξητικών συντελεστών αντίστοιχα. Αυτή η προσέγγιση, ωστόσο, είναι αδύνατη σε μη-γραμμικά προβλήματα, όπου η αρχή της επαλληλίας δεν ισχύει, και ενδεχομένως οδηγεί σε υπερσυντηρητικό σχεδιασμό. Από την άλλη, η πιθανοτική αντιμετώπιση, απαιτεί μονάχα τον προσδιορισμών των αβεβαιοτήτων, με συναρτήσεις συχνότητας πιθανότητας (ΣΣΠ), προκειμένου να παρέχει την μέτρηση ενός πιθανού σεναρίου, όπως αυτά της αστοχίας και της ασφάλειας, και εν τέλει της δομικής αξιοπιστίας. Η επίλυση ενός προβλήματος αξιοπιστίας, επιτυγχάνεται με διάφορους τρόπους. Από αυτούς, οι αναλυτικοί τρόποι είναι ευθείς, όμως εξαιρετικά περιορισμένοι και ανεφάρμοστοι σε πολύπλοκα προβλήματα. Άλλες μέθοδοι, όπως αυτές που βασίζονται στη γνώση της παραγώγου, είναι αποτελεσματικές υπό προϋποθέσεις, και μπορούν να αντιμετωπίσουν προσεγγιστικά, μόνο κάποια είδη προβλημάτων. Οι επικρατέστερες μέθοδοι, είναι αριθμητικές, και προσομοιώνουν πειράματα τύχης σε υπολογιστή. Η πιο γνωστή και εύρωστη μέθοδος είναι η προσομοίωση Monte Carlo (MCS), που παρέχει πολυπληθή αποτελέσματα από προσομοιώσεις, τα οποία ταξινομούνται στο αντίστοιχο πεδίο (π.χ. της ασφάλειας ή της αστοχίας), ώστε να ληφθεί συμπέρασμα για τη συχνότητα εμφάνισης ενός φαινομένου. Η προσομοίωση Monte Carlo και οι παραλλαγές της, όπως η προσομοίωση με τη μέθοδο των υποσυνόλων (Subset Simulation ή SS), είναι οι πιο προτιμητέες για την αντιμετώπιση προβλημάτων αξιοπιστίας. Η εργασία αυτή παρουσιάζει ένα τρόπο αντιμετώπισης του μεγαλύτερου μειονεκτήματος των μεθόδων προσομοίωσης. Όπως προαναφέρθηκε, αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε επαναληπτικές διαδικασίες. Συνεπώς η συνάρτηση αστοχίας g(x), που καθορίζει την ταξινόμηση μίας πιθανής κατάστασης, υπολογίζεται διαδοχικά πολλές φορές. Αυτό σημαίνει, ότι το υπολογιστικό κόστος είναι υψηλό, και η διαδικασία χρονοβόρα, διότι η συνάρτηση αστοχίας μπορεί να περιλαμβάνει πολύπλοκά μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων, ανάλυση χρονοϊστορίας κ.α.. Η κύρια ιδέα για την αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας, είναι η αντικατάσταση της συνάρτησης αστοχίας, με μία νέα, που μπορεί να παρέχει αξιόπιστη ταξινόμηση και εύκολα υπολογίσιμη. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται αδρομερές μοντέλο και είναι βασιζόμενο σε πολύ περιορισμένη γνώση της πραγματικής συνάρτησης αστοχίας. Η εργασία, λοιπόν, επικεντρώνεται στη γραμμική πρόβλεψη kriging ως αδρομερές μοντέλο στη δομική αξιοπιστία. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται όλα τα βασικά θεωρητικά στοιχεία στα οποία βασίζεται η ανάλυση αξιοπιστίας σε μοντέλο kriging. Αρχικά ορίζονται οι τυχαίες μεταβλητές και διανύσματα, καθώς οι βασικότερες κατανομές, όπως η κανονική, η λογαριθμοκανονική και η ακροτάτων (Gumbel), με βάση τις οποίες προσομοιώνονται οι αβεβαιότητες των μεγεθών. Στη συνέχεια ορίζεται η στοχαστική ανέλιξη, που αποτελεί τη βάση της πρόβλεψης kriging. Στα πλαίσια αυτής της εργασίας οι στοχαστικές ανελίξεις περιορίζονται στις Γκαουσιανές. Επιπλέον, γίνεται η απλοποίηση, ότι το μητρώο συσχετίσεως, προκύπτει από συναρτήσεις συσχέτισης, οι οποίες συναρτάνε τη συσχέτιση με την απόσταση στο χώρο των εισαγόμενων μεταβλητών, και ρυθμίζονται από τους συντελεστές συσχέτισης. Η πρόβλεψη kriging, ή αλλιώς η βέλτιστη αμερόληπτη (unbiased) γραμμική πρόβλεψη, στοχεύει στον προσδιορισμό μίας στοχαστικής ανέλιξης, βασιζόμενη σε παρατηρήσεις, δηλαδή ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων του πεδίου ορισμού της συνάρτησης αστοχίας, με τις αντίστοιχες τιμές της. Η εύρεση των συντελεστών συσχέτισης γίνεται επιλύοντας ένα υπολογιστικά δύσκολο πρόβλημα βελτιστοποίησης. Με αυτόν τον τρόπο, η πρόβλεψη kriging παρέχει το μοντέλο G~N(μ_G (x),〖σ_G (x)〗^2 ), δηλαδή για το τυχόν σημείου του πεδίου ορισμού, δίνεται η μέση τιμή μ_G (x) και η τυπική απόκλιση σ_G (x), που περιγράφουν την εκτίμηση της συνάρτησης αστοχίας, μαζί με την αντίστοιχη αβεβαιότητα. Ιδιότητα αυτού του μοντέλου είναι ότι στα υποστηρικτικά σημεία (παρατηρήσεις), η μέση τιμή μ_G (x) ταυτίζεται με την g(x), ενώ η τυπική απόκλιση σ_G (x) είναι μηδενική. Συνεπώς το μοντέλο kriging παρέχει στις περιοχές κοντά στα υποστηρικτικά σημεία πιο βέβαιη πρόβλεψη απ’ ότι πιο μακριά. Στα προβλήματα ανάλυσης αξιοπιστίας, απαιτείται η σωστή ταξινόμηση κάθε σημείου του πεδίου ορισμού. Συνεπώς, το μοντέλο kriging θεωρείται επαρκές όχι όταν παρέχει με βεβαιότητα κάθε τιμή της g(x), αλλά όταν παρέχει σωστή ταξινόμηση. Για τον υπολογισμό της πιθανότητας αστοχίας, στην αξιοπιστία κατασκευών, ορίζεται η συνάρτηση πιθανοτικής ταξινόμησης π(x) που εκφράζει την πιθανότητα μία κατάσταση ή αλλιώς ένα σημείο του χώρου να βρίσκεται στην περιοχή της αστοχίας. Λαμβάνει τιμές από το μηδέν έως το ένα και υπολογίζεται από τις προαναφερθέντες ποσότητες μ_G (x),σ_G (x). Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται αναλυτικά οι μέθοδοι προσομοίωσης για την αριθμητική προσέγγιση της πιθανότητας αστοχίας. Η προσομοίωση Monte Carlo και η προσομοίωση με τη μέθοδο των υποσυνόλων, εφαρμόζονται είτε με βάση την πραγματική συνάρτηση αστοχίας είτε με βάση το μοντέλο kriging G~N(μ_G (x),〖σ_G (x)〗^2 ). Οι δύο αυτές προσεγγίσεις παρουσιάζονται παράλληλα, ώστε να φαίνεται η αντιστοιχία. Η κύρια διαφορά είναι ότι η συνάρτηση πιθανοτικής ταξινόμησης π(x) αντικαθιστά το δείκτη I_F (x), όταν η προσομοίωση βασίζεται στο μοντέλο kriging. Στη συνέχεια, γίνεται λόγος για τη χρήσιμη ιδιότητα της Importance Sampling (IS). Η IS επιτρέπει την επιλογή διαφορετικής συνάρτησης συχνότητας πιθανότητας (instrumental PDF), για την παραγωγή του τυχαίου δείγματος στην εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας. Με τη σωστή επιλογή εναλλακτικής ΣΣΠ, η επαναληπτική διαδικασία της MCS μπορεί να επιταχυνθεί σημαντικά. Επίσης αποδεικνύεται ποια είναι η βέλτιστη ΣΣΠ, δηλαδή αυτή που μηδενίζει τη διακύμανση της εκτιμώμενης πιθανότητας. Ωστόσο, η βέλτιστη ΣΣΠ απαιτεί τη γνώση της πιθανότητας και συνεπώς είναι μη-εφαρμόσιμη. Σε αυτό το σημείο παρουσιάζεται η νέα υβριδική μέθοδος Meta-model based Importance Sampling (MIS). Σκοπός της είναι η προσέγγιση της βέλτιστης ΣΣΠ μέσω του μοντέλου kriging, και η παραγωγή περιορισμένου τυχαίου δείγματος για την εκτίμηση της πιθανότητας. Με άλλα λόγια, αν το μοντέλο kriging μπορεί να παρέχει μία μέτρια έως καλή εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας, η MIS διορθώνει σε δεύτερη φάση την πιθανότητα αστοχίας με μικρό δείγμα που απαιτεί υπολογισμούς της συνάρτησης αστοχίας. Η μέθοδος MIS συνδυάζει το μοντέλο kriging με την Importance Sampling και είναι εξαιρετικά χρήσιμη όταν απαιτείται επιβεβαίωση της εκτίμησης ή όταν το μοντέλο είναι ανεπαρκές. Το τρίτο κεφάλαιο περιλαμβάνει τις στρατηγικές με τις οποίες η πρόβλεψη kriging μπορεί να βελτιωθεί, ώστε να παρέχει πιο βέβαιη ταξινόμηση. Όπως προαναφέρθηκε, η κατασκευή του μοντέλου βασίζεται μονάχα σε ορισμένες παρατηρήσεις ή υποστηρικτικά σημεία, τα οποία λαμβάνονται τυχαία από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αστοχίας g(x). Η βελτίωση του μοντέλου επιτυγχάνεται λαμβάνοντας νέες παρατηρήσεις και επανυπολογίζοντάς το. Τα νέα υποστηρικτικά σημεία επιλέγονται, με βάση μία συνάρτηση-κριτήριο, που λαμβάνει μεγάλες τιμές όταν η μέση τιμή μ_G (x) πλησιάζει το μηδέν, και όταν η τυπική απόκλιση σ_G (x) αυξάνεται. Με αυτόν τον τρόπο στοχεύονται οι περιοχές στις οποίες γίνεται η μετάβαση από την αστοχία στην ασφάλεια και αντίστροφα. Είναι οι περιοχές, δηλαδή, στις οποίες η εκτίμηση της ταξινόμησης είναι πιο δύσκολη. Στην παρούσα εργασία, δύο είναι τα κριτήρια στα οποία δίνεται μεγαλύτερη έμφαση: Η συνάρτηση πιθανοτικού εύρους (margin probability function MP(x)) και η προτεινόμενη συνάρτηση πιθανέστερης εσφαλμένης ταξινόμησης (most probable misclassification function MF(x)). Στη συνέχεια, τα άνω κριτήρια που κατευθύνουν στη μεταβατική περιοχή της αστοχίας και της ασφάλειας, πολλαπλασιάζονται με τη ΣΣΠ f_X (x) του προβλήματος αξιοπιστίας. Με αυτό τον τρόπο, το τελικό κριτήριο f_X (x)∙MF(x) λαμβάνει επιπρόσθετα υπόψιν ότι περιοχές με μεγάλες τιμές της ΣΣΠ είναι πιο καθοριστικές στον υπολογισμό της πιθανότητας αστοχίας. Σε αυτό το σημείο, το κριτήριο για την επιλογή νέων παρατηρήσεων στην κατασκευή του μοντέλου, χρησιμοποιείται ως ΣΣΠ για την παραγωγή δείγματος. Το δείγμα αυτό είναι ένα σύνολο υποψήφιων σημείων. Ωστόσο το μέγεθός του είναι μεγάλο και είναι μη-αποδοτικό να επιλεγεί ολόκληρό. Προκειμένου να επιλεγούν τα πιο αντιπροσωπευτικά σημεία, λύνεται το πρόβλημα συσταδοποίησης (clustering problem) με τον αλγόριθμο k-means. Έτσι το σύνολο των παρατηρήσεων ανανεώνεται και το μοντέλο kriging είναι πιο ακριβές σε κρίσιμες περιοχές. Αντί της παραπάνω προσέγγισης, δηλαδή της παραγωγής δείγματος με βάση την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ∝f_X (x)∙MF(x), προτείνεται, επιπρόσθετα, μία εναλλακτική λύση. Δεδομένου ότι η διαδικασία ανανέωσης των παρατηρήσεων, είναι μέρος ενός επαναληπτικού αλγορίθμου, και ότι η πιθανότητα αστοχίας παρατηρείται σε κάθε βήμα, τότε υπάρχει διαθέσιμο δείγμα που έχει παραχθεί από την προσομοίωση MCS ή SS. Αυτό το δείγμα χρησιμοποιείται για να λυθεί το πρόβλημα συσταδοποίησης, όμως κάθε σημείο έχει διαφορετική βαρύτητα, που καθορίζεται από τη συνάρτηση w(x)=MF(x). Με αυτόν τον τρόπο, αποφεύγεται η παραγωγή δείγματος από την ∝f_X (x)∙MF(x), που θα απαιτούσε δειγματοληψία από μαρκοβιανές αλυσίδες και γίνεται περεταίρω εκμετάλλευση του υπάρχοντος δείγματος από την προσομοίωση MCS ή SS. Όπως προαναφέρθηκε, η διαδικασία ανανέωσης των παρατηρήσεων γίνεται πολλές φορές διαδοχικά με λίγα σημεία, ώστε το μοντέλο να μπορεί να δίνει σε κάθε βήμα νέα κατεύθυνση. Το προτεινόμενο κριτήριο για τη λήξη της διαδικασίας βασίζεται στην ποσότητα p_MF που ισούται με την ολοκλήρωση της συνάρτησης f_X (x)∙MF(x) σε όλο το πεδίο ορισμού. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ίδιο τρόπο που υπολογίζεται η πιθανότητα αστοχίας, και με το ίδιο δείγμα. Αν, ιδανικά, το μοντέλο αποκτήσει τέλεια ακρίβεια στην ταξινόμηση, η συνάρτηση MF(x) αποκτά μηδενική τιμή, και συνεπώς μηδενίζεται το p_MF. Στο τέταρτο κεφάλαιο, γίνεται εφαρμογή της μεθόδου αξιοπιστίας που βασίζεται σε μοντέλο kriging. Αυτή περιλαμβάνει την αρχική κατασκευή του μοντέλου από τυχαία επιλεγμένες παρατηρήσεις, την ανανέωση με νέα αποδοτικά υποστηρικτικά σημεία, την τελική εκτίμηση της πιθανότητας αστοχίας, και την επαλήθευση με την υβριδική μέθοδο Meta-model based Importance Sampling. Τα προβλήματα στα οποία εφαρμόζεται είναι προβλήματα με ανώμαλη (αλλά συνεχή) συνάρτηση αστοχίας, πολλών διαστάσεων, και τα τελευταία δύο αφορούν περιπτώσεις δομικής αξιοπιστίας. Το πρώτο είναι ένα δικτύωμα μεγάλου ανοίγματος, με τυχαίες μεταβλητές τα φορτία, τη γεωμετρία και τις ιδιότητες των υλικών, στο οποίο μετράται η πιθανότητα υπέρβασης του επιτρεπόμενου βέλους. Στο δεύτερο πρόβλημα, ένα κτίριο ύψους 80 m προσομοιώνεται με την παραδοχή συνεχούς καμπτοδιατμητικού προβόλου, με τυχαίες συνεχείς μεταβλητές τη δυσκαμψία και την ανηγμένη καθ’ ύψος μάζα. Επίσης, το φάσμα των επιταχύνσεων ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή, όπως προκύπτει από στατιστική επεξεργασία των Boore-Atkinson. Ως συνάρτηση αστοχίας ορίζεται η υπέρβαση του drift κατά 0.75%. Το τελευταίο κεφάλαιο περιλαμβάνει τα τελικά συμπεράσματα. Η προσέγγιση των προβλημάτων αξιοπιστίας των κατασκευών με τη γραμμική πρόβλεψη kriging αποδεικνύεται αποδοτική, ειδικά σε προβλήματα κάτω των 100 διαστάσεων, με συνεχή συνάρτηση αστοχίας και μικρές πιθανότητες. Το μοντέλο kriging μπορεί να επεκταθεί σε προβλήματα βελτιστοποίησης και σε παλινδρόμηση μεγάλων δεδομένων (big data).	el
heal.abstract	Reliability analysis is a scientific field, that deals with problems with uncertainties in a probabilistic way. In structural engineering such uncertainties are common, and originate from the properties of the materials, the geometry of a structure, the construction, the mathematical modeling, and the loading. The most common approach is to distinguish those uncertainties to favorable and unfavorable, and apply reductive and augmentative coefficients respectively. Such an approach though, may be impossible in non-linear problems, where the superposition principle does not hold, and also it leads to very conservative designs. The probabilistic approach on the other hand, only requires the definition of those uncertainties with probability density functions, and provides a measurement of probable scenarios, such as the failure and safety, and ultimately the reliability of a structure. Solving a reliability problem, is achieved with various methods. The analytical ones are straightforward but restricted to a point that they are rendered impractical. Other gradient-based method were developed through the years, but they are also restricted, and provide approximations that often are not acceptable. The most prevailing techniques, are numerical approximations called simulation experiments, or computer experiments. The most common and robust is the known Monte Carlo Simulation (MCS), which produces numerous results with purpose to classify them in the correspondent domain (e.g. failure or safety) and make conclusions on the frequency of a phenomenon. The MCS and its variations, such as the Subset Simulation (SS), are the most preferred methods to deal with a reliability analysis problem. This thesis presents a way to deal with a great disadvantage of the simulation techniques. As mentioned earlier, these techniques are based on an iterative algorithm, and therefore the function that indicates the classification of a probable state, also called the performance function g(x), has to be evaluated many times. This means that the computational cost is high, and the procedure time-consuming, because a performance function may rely on solving large finite elements models, or a time-history analysis. The main idea to treat this inefficiency, is to replace the performance function with a new one, that provides accurate classification and is computationally easy to evaluate. Such a function is referred to as a surrogate model and is reliant on very few information of the performance function. This thesis focuses on the application of the kriging predictor as a surrogate model in structural reliability. In the first chapter, the necessary theoretical framework is presented. This includes the definition of a random variable and vector, and the most commonly used distributions that define a random variable, the definition of a stochastic process and the kriging predictor. The kriging predictor is a procedure that creates a Gaussian stochastic process G based on a specific dataset or observations, which derive from the performance function. Making use of correlation functions that express the confidence of the prediction in the vicinity of the observations, the kriging predictor estimates the performance function, providing a mean value μ_G (x) and variance 〖σ_G (x)〗^2 at any point of the input space. In reliability analysis only the classification of a state is important. This classification is expressed from the probabilistic classification function π(x), which depends on the kriging mean and variance, and provides the probability, a state to reside in the safety or the failure domain. In the second chapter, the most efficient simulation techniques to estimate the failure probability, are presented. The application of those techniques differ slightly when performed on the kriging model. More precisely, the probabilistic classification function π(x) replaces the indicator function I_F (x) which relies on evaluating the performance function. The two approaches, meaning the classic g(x)-based and the Gaussian process G~N(μ_G (x),〖σ_G (x)〗^2 ) based are shown in parallel, to highlight to similarities and the differences. Lastly, a new simulation technique is introduced, that combines the kriging model based simulation techniques with Importance Sampling. The hybrid method Meta-model based Importance Sampling, focuses on approximating the optimal instrumental PDF from the kriging model, and sampling efficiently with evaluations of the g(x) function. This technique can validate the kriging model estimation, or corrected it if the model is inaccurate. The third chapter focuses on the strategies that should be implemented, in order to enrich the dataset of the kriging model and improve its prediction. As mentioned above, the kriging model is not accurate in areas away from the observations. However, this is not important as long as the classification is accurate. Consequently, the model is enriched with new points at areas where the classification is not confident, with priority to those that affect more the failure probability. This is achieved, by solving a clustering problem of a large amount of candidate points, and choosing one of each cluster. This refinement procedure is repeated until the kriging model is sufficient. In the fourth chapter, validation examples and applications are presented. The kriging-based reliability method is tested on problems with irregular limit state function, problems with many dimensions and lastly on two structural reliability problems. The Meta-model Importance Sampling is also implemented and illustrated at each application. In the last chapter, the final conclusions are drawn. The kriging model approach, is proven to be very reliable in reliability analysis, especially in problems with less than 100 dimensions, a continuous performance function and low probabilities. Its application can be extended in optimization, and big data regression.	en
heal.advisorName	Φραγκιαδάκης, Μιχάλης	el
heal.committeeMemberName	Ψυχάρης, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Παπαδόπουλος, Βησσαρίων	el
heal.committeeMemberName	Φραγκιαδάκης, Μιχάλης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	84 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true