Κυρτά σώματα και το θεώρημα Dvoretzky

Γαστεράτος, Ιωάννης; Gasteratos, Ioannis

dc.contributor.author	Γαστεράτος, Ιωάννης	el
dc.contributor.author	Gasteratos, Ioannis	en
dc.date.accessioned	2017-06-19T11:39:42Z
dc.date.available	2017-06-19T11:39:42Z
dc.date.issued	2017-06-19
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45066
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.14085
dc.rights	Default License
dc.subject	Κυρτά σώματα	el
dc.subject	Θεώρημα	el
dc.subject	Συναρτησιακή ανάλυση	el
dc.subject	Dvoretzky	en
dc.subject	Theorem	en
dc.subject	Convex	en
dc.subject	Bodies	en
dc.subject	Sections	en
dc.title	Κυρτά σώματα και το θεώρημα Dvoretzky	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/da4b9237bacccdf19c0760cab7aec4a8359010b0
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2016-03-06
heal.abstract	Σκοπός αυτής της Διπλωματικής Εργασίας είναι η μελέτη των κυρτών σωμάτων και του θεωρήματος Dvoretzky. H ασυμπτωτική ανάλυση των κυρτών σωμάτων βρίσκεται στην τομή της Κυρτής Γεωμετρίας, της Συναρτησιακής Ανάλυσης και της θεωρίας Πιθανοτήτων και στοχεύει στην περιγραφή των ιδιοτήτων των κυρτών, συμπαγών συνόλων του Rn για μεγάλες τιμές της διάστασης n. Η περιγραφή αυτή συνδέεται άμεσα με την τοπική θεωρία των χώρων Banach που αφορά τη μελέτη των χώρων με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. Στο Κεφάλαιο 1, αναπτύσσονται τα βασικά εργαλεία που αφορούν τα κυρτά σύνολα και περιγράφεται η αναλογία μεταξύ Γεωμετρίας και Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η αναλογία αυτή, έχει ως εναρκτήριο σημείο την παρατήρηση ότι η κλειστή μοναδιαία μπάλα ενός n-διάστατου χώρου με νόρμα είναι ένα κυρτό συμμετρικό σώμα στον Rn. Το Κεφάλαιο 2 έχει ως κύριο θέμα μια από τις βασικότερες ανισότητες της κλασικής κυρτής ανάλυσης, την ανισότητα Brunn-Minkowski. Πέραν της απόδειξης, επιχειρείται η διερεύνηση των συνθηκών που εξασφαλίζουν την ισότητα. Το εγχείρημα αυτό διέρχεται από την έννοια των μικτών όγκων που παίζουν κυρίαρχο ρόλο στη θεωρία κυρτών σωμάτων που θεμελίωσε ο Minkowski. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται μια από τις πολυάριθμες εφαρμογές αυτής της ανισότητας, η οποία σχετίζεται με την επίλυση του ισοπεριμετρικού προβλήματος στον Rn. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι η ευκλείδεια μπάλα έχει τη μικρότερη επιφάνεια ανάμεσα σε όλα τα συμπαγή υποσύνολα ίσου όγκου στον Rn. Στο Κεφάλαιο 3, ορίζεται μια έννοια απόστασης μεταξύ κυρτών σωμάτων και η ανάλογη έννοια της απόστασης μεταξύ χώρων με νόρμα πεπερασμένης διάστασης. Στο επίκεντρο βρίσκεται το θεμελιώδες θεώρημα του F. John, σχετικά με την ύπαρξη ενός ελλειψοειδούς μεγίστου όγκου E που περιέχεται σε ένα αυθαίρετο κυρτό, συμμετρικό σώμα K. Η ανάλυση John του ταυτοτικού τελεστή ως κυρτό συνδυασμό προβολών στα σημεία επαφής του Κ με το Ε, οδηγεί στην απόδειξη ενός αποτελέσματος των Dvoretzky-Rogers που παίζει κυρίαρχο ρόλο στην απόδειξη του θεωρήματος Dvoretzky. Το Κεφάλαιο 4 καταπιάνεται με το φαινόμενο της Συγκέντρωσης του Μέτρου. Ως κίνητρο για την ανάπτυξη της θεωρίας, μελετάται ασυμπτωτικά η κατανομή του όγκου της n-διάστατης ευκλείδειας μπάλας του Rn. Εδώ γίνεται για πρώτη φορά εμφανές ότι η γεωμετρική αντίληψη που εγκλωβίζεται στις τρεις διαστάσεις δεν είναι αρκετή ώστε να προβλέψει την αξιοσημείωτη συμπεριφορά που παρουσιάζουν τα κυρτά σώματα σε μεγάλες διαστάσεις. Στη συνέχεια ορίζεται αυστηρά η συγκέντρωση του μέτρου ως ένα φαινόμενο ασυμπτωτικής σημασίας που υποδηλώνει μια "ασυμφωνία" μεταξύ μέτρου και μετρικής σε χώρους μεγάλων διαστάσεων. Τέλος, το Κεφάλαιο 5 έχει ως θέμα το θεώρημα Dvoretzky, το οποίο αποτελεί και αφετηρία της σύγχρονης θεωρίας των κυρτών σωμάτων. Σύμφωνα με αυτό, κάθε συμμετρικό, κυρτό σώμα έχει κεντρικές τομές αρκετά μεγάλης διάστασης οι οποίες είναι σχεδόν ελλειψοειδείς. Ισοδύναμα, κάθε n-διάστατος χώρος Banach έχει ένα σχεδόν ευκλείδειο υπόχωρο αρκετά μεγάλης διάστασης. Ακολουθώντας την απόδειξη του Milman και χρησιμοποιώντας αποτελεσματα και έννοιες των προηγούμενων κεφαλαίων, η παρούσα εργασία κλείνει με τον υπολογισμό της διάστασης των σχεδόν ελλειψοειδών τομών του μοναδιαίου κύβου.	el
heal.advisorName	Παπανικολάου, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Αργυρός, Σπυρίδων	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	91 σ.
heal.fullTextAvailability	true