Το μοντέλο Poincare του υπερβολικού επιπέδου

Χρυσοστομίδου, Ειρήνη; Chrysostomidou, Eirini

dc.contributor.author	Χρυσοστομίδου, Ειρήνη	el
dc.contributor.author	Chrysostomidou, Eirini	en
dc.date.accessioned	2017-06-23T11:37:06Z
dc.date.available	2017-06-23T11:37:06Z
dc.date.issued	2017-06-23
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45097
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.13703
dc.rights	Default License
dc.subject	Σύστημα αξιωμάτων	el
dc.subject	Υπερβολική γεωμετρία	el
dc.subject	Μοντέλο Poincare	el
dc.subject	Θεωρήματα	el
dc.subject	Κατασκευές	el
dc.subject	System of axioms	en
dc.subject	Hyperbolic geometry	en
dc.subject	Poincare model	en
dc.subject	Theorems	en
dc.subject	Constructions	en
dc.title	Το μοντέλο Poincare του υπερβολικού επιπέδου	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γεωμετρία	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-03-06
heal.abstract	Η Υπερβολική ή αλλιώς μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία έχει ιδιαίτερη αξία στο χώρο της μελέτης των θεμελίων των μαθηματικών. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να παρουσιάσει κανείς τη Γεωμετρία αυτή. Ένας τρόπος είναι να ακολουθήσουμε την ιστορική εξέλιξη και να δείξουμε πώς οι αποτυχημένες προσπάθειες απόδειξης του αιτήματος των παραλλήλων οδήγησαν στην ιδέα κατασκευής μίας Γεωμετρίας μέσα στην οποία από σημείο εκτός ευθείας άγονται περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες ως προς την πρώτη ευθεία. Θα μπορούσαμε να περιοριστούμε σε αυτό και να παρουσιάσουμε ένα σύνολο αξιωμάτων το οποίο αποτελεί τη Γεωμετρία μας. Θα ακολουθούσαμε έτσι τη δουλειά των Bolyai και Lobachevski, των μαθηματικών που πρωτοκατασκεύασαν την Υπερβολική Γεωμετρία. Μια τέτοια όμως προσέγγιση παρότι ορθή θα δυσκόλευε το σκοπό αυτής της εργασίας καθότι δεν ενδείκνυται για την επαφή του αναγνώστη με το αντικείμενο της Υπερβολικής Γεωμετρίας. Μία λύση στο πρόβλημα δίνει η παρουσίαση μοντέλων για τη Γεωμετρία μας. Παρότι αρκετοί έχουν κατασκευάσει μοντέλα για την Υπερβολική Γεωμετρία, επιλέγουμε ένα από τα μοντέλα του Poincare, κυρίως λόγω της ευκολίας που παρέχει στη μέτρηση γωνιών εντός αυτού. Το μοντέλο αυτό συνήθως είναι ένα μιγαδικό ημιεπίπεδο, όμως εμείς θα δουλέψουμε σε ένα ευκλείδειο πραγματικό ημιεπίπεδο. Η μικρή αυτή τροποποίηση αναλογεί στο Meschkowski και δεν αλλάζει κάτι πέραν των τύπων για τον υπολογισμό του μήκους μέσα στο υπερβολικό επίπεδο, προσφέροντας έτσι μία διευκόλυνση στους υπολογισμούς. Η Γεωμετρία μας επιτρέπει τη διατύπωση θεωρημάτων, τις κατασκευές αντικειμένων, καθώς και την κατασκευή τριγωνομετρίας. Το καθένα από αυτά υλοποιείται σε διαφορετικά κεφάλαια, κεφάλαιο 5ο, κεφάλαιο 6ο, και κεφάλαιο 7ο αντίστοιχα. Τέλος, κρίνουμε σκόπιμο να παρουσιάσουμε μία ακόμη Γεωμετρία η οποία προέκυψε με παρόμοιο τρόπο από την Ευκλείδεια, όπως και η Υπερβολική. Πρόκειται για την Ελλειπτική Γεωμετρία. Παρουσιάζουμε την Ελλειπτική Γεωμετρία σχετικά συνοπτικά και με τρόπο συγκριτικό ως προς την Υπερβολική Γεωμετρία ώστε να διαπιστωθούν κάποιες διαφορές τους αλλά και κάποιες ομοιότητές τους.	el
heal.abstract	Hyperbolic or no-Euclidean Geometry is of great value in the field of the foundations of mathematics. There are many ways to present this Geometry. One of them is to follow the historical evolution. In this way we can show how the counterproductive efforts of proving the parallel axiom led to the idea of the construction of a Geometry with more than one lines parallel to a given one. We could confine ourselves to this approach and present a set of axioms which constitutes our Geometry. In this way we would follow the lead of Bolyai and Lobachevsky, the mathematicians that first dealt with the construction of Hyperbolic Geometry. But this kind of approach isn’t indicated for the reader’s familiarization with the objects of Hyperbolic Geometry. Therefor isn’t suitable for the purpose of our work. One way to solve this is to present models for the Geometry we are studying. Even though quite a few mathematicians have constructed models for Hyperbolic Geometry we choose to use one of Poincare’s models, mostly because of the convenience that it affords us with, as far as measuring angles is concerned. This model is usually a complex half plane, but we are going to work in a uclidean half plane of real numbers. This small twist is due to eschkowski and doesn’t change anything apart from the formulas for the measurement of length in the hyperbolic plane, making the calculations easier for us. Geometry enables us to formulate theorems, construct new geometrical objects inside the plane we are working, and construct the trigonometry of our plane. We do each one of these in different chapters, chapter 5, chapter 6, and chapter 7 correspondingly. Finally, we present another Geometry called Elliptic. We got this Geometry out of Euclidean Geometry more or less like we got Hyperbolic Geometry out of Euclidean. We present Elliptic Geometry rather shortly and in comparison to Hyperbolic Geometry so that we can indicate some similarities as well as some differences between them.	en
heal.advisorName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.committeeMemberName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	58 σ.
heal.fullTextAvailability	true