Ενοποίηση σχετικιστικών και φυσικών αποδείξεων για την εύρεση νέων κάτω φραγμάτων

Παπαδόπουλος, Πλάτων-Λέανδρος; Papadopoulos, Platon-Leandros

dc.contributor.author	Παπαδόπουλος, Πλάτων-Λέανδρος	el
dc.contributor.author	Papadopoulos, Platon-Leandros	en
dc.date.accessioned	2017-06-30T11:06:09Z
dc.date.available	2017-06-30T11:06:09Z
dc.date.issued	2017-06-30
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45121
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.14009
dc.rights	Default License
dc.subject	Κάτω φράγματα	el
dc.subject	Πολυπλοκότητα	el
dc.subject	Φυσικές αποδείξεις	el
dc.subject	Σχετικιστικές αποδείξεις	el
dc.subject	Αλγόριθμοι για κυκλώματα	el
dc.subject	Lower bounds	en
dc.subject	Complexity	el
dc.subject	Natural proofs	el
dc.subject	Relativizing proofs	el
dc.subject	Algorithms for circuits	el
dc.title	Ενοποίηση σχετικιστικών και φυσικών αποδείξεων για την εύρεση νέων κάτω φραγμάτων	el
dc.title	Unification of relativizing and natural proofs for new lower bounds	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Προχωρημένη υπολογιστική πολυπλοκότητα	el
heal.classification	Βασική θεωρία αυτομάτων Υπολογισιμότητα και πολυπλοκότητα	el
heal.classification	πολογισιμότητα και πολυπλοκότητα	el
heal.classification	Computational complexity	en
heal.classification	Basic automata	en
heal.classification	Computability and complexity	en
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/da4b9237bacccdf19c0760cab7aec4a8359010b0
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/d1fd48333115227b181b4b132e5511e91d95bea5
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/67de27fd6cf8d4bc1ad0b22499ec7f87a1acf6c4
heal.classificationURI	http://id.loc.gov/authorities/subjects/sh85029473
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/67de27fd6cf8d4bc1ad0b22499ec7f87a1acf6c4
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-03-23
heal.abstract	Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία μελετάμε τη σύνδεση των ανομοιόμορφων μοντέλων υπολογισμού με τις παραδοσιακές υπολογιστικές δυνατότητες των μηχανών Turing. Συγκεκριμένα τα πρώτα είναι στενά συνδεδεμένα με τις οικογένειες λογικών κυκλωμάτων και αποδεικνύεται ότι, ακριβώς χάρη στην ανομοιομορφία τους, αποτελούν ένα παντοδύναμο υπολογιστικό μοντέλο, καθιστώντας τα ισχυρότερα από όλες τις γνωστές υπολογιστικές μεθόδους αλλά με το προφανές μειονέκτημα ότι δεν μπορούν να υλοποιηθούν ρεαλιστικά. Εν τούτοις, αποτελούν ένα πολύ αποδοτικό εργαλείο ως μέτρο συμπύκνωσης των υπολογιστικών βημάτων που απαιτεί ο υπολογισμός μιας συνάρτησης και φαίνεται να έχουν αμέτρητες εφαρμογές και συνδέσεις με τις ομοιόμορφες υπολογιστικές κλάσεις. Αποκορύφωμα αυτών, είναι μέχρις στιγμής η στενή σύνδεση της εικασίας ανυπαρξίας χαμηλών κυκλωματικών κλάσεων για υψηλές υπολογιστικές κλάσεις με τη δυνατότητα αποδοτικά ομοιόμορφης παραγωγής ψευδοτυχαιότητας (μία από τις κρισιμότερες παραμέτρους στη σύγχρονη Κρυπτογραφία). Από την άλλη το πεδίο των Κυκλωμάτων φάνηκε να αποτελεί το πιο εύφορο πεδίο για την εύρεση φραγμάτων στις υπολογιστικές δυνατότητες ομοιόμορφων κλάσεων περιορισμένων πόρων (χρόνου, χώρου κ.λπ.), ειδικότερα μετά την απόδειξη της αδυναμίας των απλών επιχειρημάτων αυτοαναφοράς να λύσουν μεγάλα ανοιχτά ερωτήματα της Θεωρίας Πολυπλοκότητας (όπως αν $P=NP$, $P=BPP$ κ.ο.κ.). Εν τούτοις, το ομώνυμο άρθρο περί των Φυσικών Αποδείξεων για αρκετό καιρό είχε απογοητεύσει την επιστημονική κοινότητα όσον αφορά την πιθανότητα ύπαρξης μιας απλής απόδειξης που να χαρακτηρίζει με τεχνικά επιχειρήματα τις συναρτήσεις που επιδέχονται κυκλώματα πολυωνυμικού μεγέθους. Τα εμπόδια αυτά φαίνεται πως έρχεται να άρει μια σχετικά πρόσφατη μέθοδος, η οποία προτάθηκε κατά κύριο λόγο από τον Ryan Williams και η οποία χρησιμοποιεί την παραγωγή μη τετριμμένων αλγορίθμων για κυκλώματα (εκμεταλλεύοντας τεχνικές ιδιότητες συγκεκριμένων κυκλωματικών κλάσεων) και η οποία στη συνέχεια κατασκευάζει μια κυκλωματική δομή που να υπολογίζει σχετικούς αλγόριθμους σε χρόνο που αντιβαίνει παραδοσιακά επιχειρήματα διαγωνιοποίησης. Η μέθοδος αυτή είναι αφενός ελπιδοφόρα επειδή, συνδυάζοντας συντακτικές και σημασιολογικές τεχνικές, φαίνεται η κάθε πλευρά να είναι ικανή να καλύψει τις αδυναμίες που είχε η άλλη (όταν χρησιμοποιούνταν αυτοτελώς), αλλά και αφετέρου επειδή έχει ήδη δείξει τις δυνατότητες της μέσω του πρόσφατου αποτελέσματος (επίσης από τον R.W.) ότι $NEXP \nsubseteq ACC^0$ συνοδευόμενου από μια πληθώρα θεωρημάτων ικανών να παράξουν μια εν δυνάμει μεγάλη ποικιλία νέων κάτω φραγμάτων.	el
heal.abstract	In this Diploma Thesis we study the connection between non-uniform computation models and the traditional computational capabilities of Turing Machines. Specifically the former are closely related to Boolean circuit families and it can be proved that, exactly due to their non-uniformity, they consist an omnipotent model, making them more powerful than any known computational methods, having though the obvious drawback of not corresponding to a realistic and implementable model. Even so, they consist a very efficient tool as a way to measure the compressibility of the steps required when computing a function and they seem to have limitless applications and connections to uniform computational classes. Highlight of all these, so far, is the close connection of the small circuits absence for high computational classes conjecture to the effective uniform production of pseudorandomness (one of the most crucial aspects in modern Cryptography). On the other side, the Circuits field seemed to be the most fertile for finding new lower bounds in the computational capacity of uniform classes with bounded resources (time, space etc.), especially after the proof of the impossibility to solve great open problems of Complexity Theory (such as if $P = NP$, $P = BPP$, et al.) using simple self-referential arguments. Nevertheless, the Natural Proofs paper had for a great amount of time discourage the scientific community that it is possible to find a simple proof which characterizes functions that accept circuits of polynomial size using only technical arguments. It seems possible, though, for these barriers to be raised by a relatively recent technique, introduced mainly by Ryan Williams, that exploits the production of non-trivial algorithms for circuits (taking advantage of technical properties of specific circuit classes) and subsequently creates a circuit structure able to compute related algorithms in time that defies traditional diagonalization arguments. This approach is on the one hand promising for, combining syntactic and semantic techniques, it seems that each one is able to cover the weak points of the other (that arise when they are used independently) and on the other hand it has already shown its potential through the recent result (also by R.W.) that $NEXP \nsubseteq ACC^0$ accompanied with a plethora of theorems able to produce, under certain circumstances, a big variety of new lower bounds.	en
heal.advisorName	Παγουρτζής, Αριστείδης	el
heal.committeeMemberName	Φωτάκης, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Παπασπύρου, Νικόλαος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών. Εργαστήριο Λογικής και Επιστήμης Υπολογισμών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	120 σ.
heal.fullTextAvailability	true