Αραιή ανάκτηση και συμπλήρωση πίνακα

Τσακνάκης, Ιωάννης; Tsaknakis, Ioannis

dc.contributor.author	Τσακνάκης, Ιωάννης	el
dc.contributor.author	Tsaknakis, Ioannis	en
dc.date.accessioned	2017-07-13T06:32:55Z
dc.date.available	2017-07-13T06:32:55Z
dc.date.issued	2017-07-13
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45190
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.6928
dc.rights	Default License
dc.subject	Μεγάλα δεδομένα	el
dc.subject	Αραιή ανάκτηση	el
dc.subject	Συμπλήρωση πίνακα	el
dc.subject	l1 ελαχιστοποίηση	el
dc.subject	Ελαχιστοποίηση πυρηνικής νόρμας	el
dc.subject	Big data	en
dc.subject	Sparse recovery	en
dc.subject	Matrix completion	en
dc.subject	l1 minimization	en
dc.subject	Nuclear norm minimization	en
dc.title	Αραιή ανάκτηση και συμπλήρωση πίνακα	el
dc.title	Sparse recovery and matrix completion	en
heal.type	masterThesis
heal.secondaryTitle	Μαθηματικά ζητήματα και αλγόριθμοι	el
heal.secondaryTitle	Mathematical aspects and algorithms	en
heal.classification	Μηχανική μάθηση	el
heal.classification	Machine learning	en
heal.language	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-07-07
heal.abstract	Ο ̔ ̔κατακλυσμός δεδομένων ̓ ̓ που αντιμετωπίζουμε μας αναγκάζει να κατανοήσουμε τη δομή των δεδομένων που αποκτούμε και επεξεργαζόμαστε. Για αυτό το λόγο εισάγουμε την έννοια των μοντέλων χαμηλής διάστασης, δηλαδή υποσυνόλων του χώρου σημάτων ( ο χώρος μέσα στον οποίο κατοικούν τα δεδομένα/σήματα) με συγκεκριμένες ιδιότητες (δομή). Περιορίζουμε την προσοχή μας σε δύο μοντέλα σημάτων : αραιά διανύσματα και πίνακες χαμηλού βαθμού. Στα μοντέλα αραιών διανυσμάτων επικεντρωνόμαστε στο πρόβλημα της ανάκτησης αραιών διανυσμάτων. Αυτό το πρόβλημα αφορά την ανακατασκευή/ανάκτηση ενός αραιού σήματος μετά από προβολή σε ένα χώρο χαμηλότερης διάστασης. Το σημαντικό αποτέλεσμα, το οποίο παρουσιάζουμε και αποδεικνύουμε, είναι η ικανότητα, κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, συγκεκριμένων κλάσεων τυχαίων πινάκων, όπως Γκαουσιανών και υποκανονικών, να προβάλλουν αραιά διανύσματα σε χώρους χαμηλότερων διαστάσεων με τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούμε να αποκτήσουμε επιτυχημένα το αρχικό διάνυσμα σήματος (ανάκτηση) χρησιμοποιώντας κατάλληλους αλγορίθμους. Στους πίνακες χαμηλού βαθμού επικεντρωνόμαστε σε ένα ειδικό πρόβλημα ανάκτησης που καλείται συμπλήρωση πίνακα. Σε αυτό το πρόβλημα δίνεται ένας ημιτελής πίνακας και η πρότερη γνώση ότι αυτός ο πίνακας είναι χαμηλού βαθμού και στόχος είναι να συμπληρώσουμε τις τιμές των στοιχείων που λείπουν. Στο τελευταίο τμήμα της εργασίας εισάγουμε μερικούς αλγορίθμους για το πρόβλημα της συμπλήρωσης πίνακα και τους αξιολογούμε σε συνθετικά και πραγματικά δεδομένα.	el
heal.abstract	The ”data deluge” we are facing necessitates us to understand the structure of the data we acquire and process. For that reason we introduce the notion of low-dimensional models, i.e subsets of the signal space (the space in which the data/signals reside) with specific properties (structure). We restrict our attention on two signal models : sparse vectors and low-rank matrices. In sparse vector models we focus on the sparse vector recovery problem. This problem is about reconstructing/recovering a sparse signal after projecting it in a lower dimensional space. The important result we present and prove is the ability, under certain conditions, of certain classes of random matrices, such as Gaussian and subgaussian random matrices, to project sparse vectors to lower dimensional spaces in a way such that we can obtain successfully the original signal vectors (reconstruction) using suitable algorithms. In low-rank matrices we focus on a special recovery problem called matrix completion. In that problem we are given an incomplete matrix and the prior knowledge that this matrix is low-rank and we want to infer the values of the missing entries. In the last part of this thesis we introduce several algorithms for the matrix completion problem and assess them in synthetic and real data.	en
heal.advisorName	Λουλάκης, Μιχαήλ	el
heal.committeeMemberName	Φουσκάκης, Δημήτρης	el
heal.committeeMemberName	Βόντα, Φιλία	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	true