Η Stone-Cech συμπαγοποίηση μέσω των υπερφίλτρων και το θεώρημα Hindman

Τηνιακουδάκης, Αντώνης; Tiniakoudakis, Antonis

dc.contributor.author	Τηνιακουδάκης, Αντώνης	el
dc.contributor.author	Tiniakoudakis, Antonis	en
dc.date.accessioned	2017-09-04T12:03:20Z
dc.date.available	2017-09-04T12:03:20Z
dc.date.issued	2017-09-04
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45498
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.14197
dc.rights	Default License
dc.subject	Τοπολογία	el
dc.subject	Φίλτρα	el
dc.subject	Υπερφίλτρα	el
dc.subject	Συμπαγοποίηση	el
dc.subject	Συνδιαστική	el
dc.subject	Topology	en
dc.subject	Stone-Cech	en
dc.subject	Hindman	en
dc.subject	Compactification	en
dc.subject	Ultrafilters	en
dc.title	Η Stone-Cech συμπαγοποίηση μέσω των υπερφίλτρων και το θεώρημα Hindman	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/da4b9237bacccdf19c0760cab7aec4a8359010b0
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-07-03
heal.abstract	Κατασκευάζουμε την συμπαγοποίηση Stone-Čech με τη χρήση των υπερφίλτρων. Αρχικά, μετά από κάποια απαραίτητα στοιχεία γενικής τοπολογίας, παρουσιάζουμε την έννοια του φίλτρου και μιας κατηγορίας αυτών τα υπερφίλτρα και αποδεικνύουμε μερικά βασικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια της εργασίας εισάγεται μια έννοια σύγκλισης για τα φίλτρα σε τοπολογικούς χώρους και γίνεται η σύνδεση ανάμεσα στα φίλτρα και την τοπολογία. Αποδεικνύουμε βασικά αποτελέσματα, όπως το Θεώρημα Tychonoff, με τη βοήθεια των υπερφίλτρων. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε γενικά τη διαδικασία συμπαγοποίησης ενός τοπολογικού χώρου, την εμφύτευση δηλαδή ενός χώρου που εν γένει δεν είναι συμπαγής μέσα σε ένα συμπαγή χώρο Hausdorff, και δίνουμε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε ένας τοπολογικός χώρος να έχει συμπαγοποίηση. Έπειτα κατασκευάζουμε τον βX, την Stone-Čech συμπαγοποίηση ενός Completely Regular Hausdorff τοπολογικού χώρου X και αποδεικνύουμε την ιδιότητα συνεχούς επέκτασης που την χαρακτηρίζει. Η κατασκευή του βX γίνεται σε δύο φάσεις, αρχικά για διακριτούς χώρους και μετά για τη γενικότερη περίπτωση. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας παρουσιάζουμε το Θεώρημα Hindman σαν μια εφαρμογή των όσων είδαμε. Ένα θεώρημα με καθαρά συνδυαστικό χαρακτήρα το οποίο αποδεικνύεται με ένα πολύ ενδιαφέρον τρόπο μέσω της Stone-Čech συμπαγοποίησης των φυσικών αριθμών.	el
heal.abstract	We are constructing the Stone-Čech compactification using ultrafilters. Initially, after some necessary results of general topology, we present the notion of filters and a certain class of them called ultrafilters, proving also some basic propositions about them. Next, in order to connect filters with topology, we introduce a notion of convergence for filters in topological spaces. We prove some basic results, like Tychonoff's Theorem, using ultrafilters. Then, we present briefly the idea of compactification, the embedding of a non compact space into a compact Hausdorff space and the necessary and sufficient criterion a space must meet in order to be able to be compactified. The main matter of this thesis is the construction of βX, the Stone-Čech compactification of a Completely Regular Hausdorff topological space X and we prove the property of continuous extension which characterizes βX. The construction is made into two parts, firstly for discrete spaces and afterwards for the general case. Finally, as an application, we present the Hindman Theorem. A theorem with a pure combinatorial character which can be proved in a very interesting way through the Stone-Čech compactification of natural numbers.	en
heal.advisorName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Αρβανιτάκης, Αλέξανδρος	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλης	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	75 σ.
heal.fullTextAvailability	true