Παραγοντοποιήσεις πινάκων και εφαρμογές

Μαραγκού, Σοφία; Maragkou, Sofia

dc.contributor.author	Μαραγκού, Σοφία	el
dc.contributor.author	Maragkou, Sofia	en
dc.date.accessioned	2017-09-18T10:41:10Z
dc.date.available	2017-09-18T10:41:10Z
dc.date.issued	2017-09-18
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/45635
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.14599
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Αποσύνθεση	el
dc.subject	Παραγοντοποίηση	el
dc.subject	Πίνακες	el
dc.subject	qr	en
dc.subject	svd	en
dc.subject	Decomposition	en
dc.subject	Factorization	en
dc.subject	lu	en
dc.title	Παραγοντοποιήσεις πινάκων και εφαρμογές	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-07-07
heal.abstract	Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των βασικών μεθόδων παραγοντοποίησης ενός τυχαίου m x n πίνακα και κατ’ επέκταση οι σημαντικές εφαρμογές που προκύπτουν από την ανάλυση του πίνακα αυτού σε ειδικούς παράγοντες. Οι βασικές μέθοδοι παραγοντοποίησης πίνακα είναι η μέθοδος LU, η μέθοδος του Cholesky η οποία αποτελεί ειδική περίπτωση της LU, η μέθοδος QR και τέλος η ανάλυση ιδιαζουσών τιμών ή αλλιώς παραγοντοποίηση SVD. Οι εφαρμογές των μεθόδων αυτών είναι ποικίλες, με σημαντικότερες την επίλυση γραμμικών συστημάτων, τον υπολογισμό του αντίστροφου και ψευδοαντίστροφου πίνακα, την επίλυση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων και τον υπολογισμό της τάξης πίνακα. Ακόμη σημαντικές είναι οι εφαρμογές στο χώρο της Στατιστικής, της Πληροφορικής και άλλων επιστημονικών κλάδων. Στη μέθοδο LU παραγοντοποιούμε τον πίνακα Α σε γινόμενο δύο πινάκων της μορφής Α = LU , όπου ο L είναι ένας m x m κάτω τριγωνικός πίνακας με τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ίσα με 1, ενώ ο U είναι κλιμακωτός m x n πίνακας. Η μέθοδος του Cholesky αποτελεί ειδική περίπτωση της LU παραγοντοποίησης, καθώς προϋποθέτει ο πίνακας Α να είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος (όταν Κ = ℝ, αντίστοιχα ερμιτιανός και θετικά ορισμένος αν Κ = ℂ). Έτσι ο πίνακας Α αναλύεται σε γινόμενο δύο πινάκων της μορφής Α = LLT ( αντίστοιχα Α = LL* ) , όπου ο πίνακας L είναι τριγωνικός κάτω και με θετικά στοιχεία στην κύρια διαγώνιο. Στη μέθοδο QR ο πίνακας Α είναι ένας m x n πίνακας με στήλες γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα και μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πινάκων της μορφής A = QR ,όπου Q ο m x n πίνακας με στήλες ορθοκανονικά διανύσματα και R είναι ένας n x n αντιστρέψιμος τριγωνικός πάνω πίνακας. Τέλος, στην ανάλυση ιδιαζουσών τιμών (SVD) ο πίνακας Α ∈ Μm x n (ℝ) βαθμού ρ(Α) = r γράφεται ως γινόμενο A = UΣVT , (αντίστοιχα Α = UΣV* αν Α ∈ Μm x n (ℂ) ) , όπου U είναι ένας m x m ορθογώνιος πίνακας, V είναι ένας n x n ορθογώνιος πίνακας και Σ = (σij) είναι ένας m x n πίνακας με σii = σi , i = 1,2,…,r , σii = 0 , για i = r+1,…,m και σij = 0, για i ≠ j , όπου σi οι ιδιάζουσες τιμές του πίνακα.	el
heal.abstract	The study of the basic factorization methods of a r andom m x n matrix and consequently the notable applications that result f rom the decomposition of this matrix constitute the purpose of the present thesis . LU decomposition, Cholesky factorization (a subcate gory of LU decomposition), QR method and finally Singular Value Decomposition (SV D) are the basic methods of matrix factorization. The aforementioned methods ha ve various applications, the most significant of which are the linear systems s olution, the calculation of inverse and pseudoinverse matrices, the solution of the lea st squares problem and finally finding the rank of the matrix. In addition, appli cations of decomposition methods in the fields of Statistics, Informatics, as well as i n other scientific fields are of paramount importance. LU decomposition of a matrix A factors as a product (A=LU) of a lower m x m triangular matrix L, whose elements of the main dia gonal are equal to 1, and an echelon m x n matrix U. Cholesky method is a special subcategory of LU deco mposition, since it presupposes that, if Κ = ℝ , matrix A is symmetric and positive definite, and if Κ = ℂ , matrix A is Hermitian and positive definite. In this case, matr ix A factors as a product Α = LL T (Α = LL* respectively), with matrix L being lower triangular and with positive elements in the main diagonal. In method QR, A is a m x n matrix, with its columns being linearly independent vectors and factors as a product A=QR; Q is an m x n matrix with its columns being orthonormal vectors and R is an n x n invertible up per triangular matrix. Finally, in Singular Value Decomposition (SVD), mat rix Α ∈ Μ m x n ( ℝ ), the rank of which is r, factors as a product A = UΣV T , (respectively Α = UΣV* if Α ∈ Μ m x n ( ℂ ) ); U is an m x m orthogonal matrix, V is an n x n orth ogonal matrix and Σ = (σ ij ) is an m x n matrix with σ ii = σ i , i = 1,2,...,r , σ ii = 0 , for i = r+1,...,m and σ ij = 0, for i ≠ j , with σ i being the matrix singular values.	en
heal.advisorName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.committeeMemberName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	true