Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Μη-Γραμμικά Παραβολικά Προβλήματα

Πλάκα, Δήμητρα; Plaka, Dimitra

dc.contributor.author	Πλάκα, Δήμητρα	el
dc.contributor.author	Plaka, Dimitra	en
dc.date.accessioned	2017-12-18T11:30:28Z
dc.date.available	2017-12-18T11:30:28Z
dc.date.issued	2017-12-18
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/46117
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.7374
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Ασυνεχής Galerkin	el
dc.subject	Παραβολικά προβλήματα	el
dc.subject	Allen-Cahn	el
dc.subject	Εκτίμηση σφάλματος	el
dc.subject	Ευστάθεια	el
dc.subject	Error estimate	el
dc.subject	Discontinuous Galerkin	el
dc.subject	Stability estimate	el
dc.subject	Parabolic problems	el
dc.title	Ασυνεχής Μέθοδος Galerkin για Μη-Γραμμικά Παραβολικά Προβλήματα	el
dc.contributor.department	Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες	el
heal.type	masterThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-10-06
heal.abstract	Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις έκαναν την εμφάνισή τους στην μαθηματική μοντελοποιησή πολλών φυσικών, χημικών, βιολογικών φαινομένων και σε ποικίλες θεματικές περιοχές όπως η μηχανική των ρευστών, ο ηλεκτρομαγνητισμός, η επιστήμη των υλικών, αστροφυσική, οικονομία κ.τ.λ. Ωστόσο, πολύ συχνά οι εξισώσεις είναι τόσο πολύπλοκες, που η εύρεση της ακριβής λύσης μέσω συγκεκριμένων τύπων είτε θεωρητικών αναλυτικών μεθόδων (μετασχηματισμοί Laplace, Fourier ή δυναμοσειρές) καθιστάται αδύνατη είτε μη αποδοτική. Επομένως, είναι απαραίτητη η αναζήτηση αριθμητικών προσεγγίσεων της άγνωστης αναλυτικής λύσης. Μια συγκεκριμένη κατηγορία αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι τα πεπερασμένα στοιχεία, που προτάθηκαν σε μία εργασία του Richard Courant [6], το 1943. Η μέθοδος αυτή πήρε την απαραίτητη αναγνώριση όταν αναπτύχθηκε, ανεξάρτητα, από μηχανικούς στις αρχές του 1950. Παρόλα αυτά, η μαθηματική ανάλυση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων ξεκίνησε πολύ αργότερα, με τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα του Miloˇs Zla´mal [16], το 1968. Από τότε, η μέθοδος εξελίχθηκε και χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην μηχανολογία, τόσο στον τομέα του σχεδιασμού όσο και της ανάλυσης. Η βασική ιδέα των πεπερασμένων στοιχείων είναι η διακριτοποίηση. ΄Ενα δοθέν συνεχές πρόβλημα με απείρως πολλούς βαθμούς ελευθερίας μετατρέπεται μέσω της διακριτοποίησης σε ένα σύστημα πεπερασμένα πολλών αγνώστων. Η μέθοδος είναι γνωστή ως μέθοδος Galerkin και αποτελείται από τα ακόλουθα στάδια: • Ασθενή διατύπωση • Δημιουργία χώρων πεπερασμένης διάστασης • Λύση του διακριτού προβλήματος • Εφαρμογή στον υπολογιστή Σε αυτή την εργασία, θα ασχοληθούμε με δύο χωροχρονικά προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών. Αρχικά, με το γραμμικό παραβολικό πρόβλημα για την εξίωση θερμότητας και στη συνέχεια με μια ημιγραμμική παραλλαγή για την εξίσωση των Allen-Chan. Θα ξεκινήσουμε από βασικές ιδέες και αποτελέσματα της μεθόδου στο στατικό ελλειπτικό πρόβλημα, που θα αποτελέσουν εργαλεία για την μετέπειτα ανάλυση.Η αριθμητική μέθοδος που θα εφαρμόσουμε χειρίζεται τις μεταβλητές χώρου και χρόνου παρόμοια. Συγκεκριμένα, θα χρησιμοποιήσουμε την κλασική μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων στον χώρο και την ασυνεχή μέθοδο Galerkin στον χρόνο. Πρωτοεμφανίστηκε στην εργασία των Reed-Hill, το 1971, για την προσομοίωση μεταφοράς νετρονίων. Βασικό χαρακτηριστικό της τελευταίας είναι η αναζήτηση λύσεων ως κατά τμήματα πολυώνυμα που επιτρέπεται να είναι ασυνεχή στα κομβικά σημεία της χρονικής διαμέρισης. Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την ευστάθεια των μεθόδων, καθώς επίσης και την ακρίβεια των προσεγγιστικών λύσεων, αποδεικνύωντας εκτιμήσεις σφαλμάτων βέλτιστης τάξης. ΄Ολα τα αποτελέσματα εξαρτώνται αποκλειστικά από τα δεδομένα των εκάστοτε προβλημάτων και της ακριβής λύσης. Τέτοιες εκτιμήσεις είναι γνωστές στην βιβλιογραφία ως a priori estimates.	el
heal.advisorName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ	el
heal.advisorName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Γεωργούλης, Εμμανουήλ	el
heal.committeeMemberName	Κοκκίνης, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	true