Δύο τοπολογικές ομορφιές: το Θεώρημα Borsuk-Ulam και το Θεώρημα του σάντουιτς

Σφήκας, Ιωάννης; Sfikas, Ioannis

dc.contributor.author	Σφήκας, Ιωάννης	el
dc.contributor.author	Sfikas, Ioannis	en
dc.date.accessioned	2017-12-18T11:50:13Z
dc.date.issued	2017-12-18
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/46125
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.15064
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Αλγεβρική Τοπολογία	el
dc.subject	Γενική Τοπολογία	el
dc.subject	Πραγματική Ανάλυση	el
dc.subject	Θεώρημα Borsuk-Ulam	el
dc.subject	Θεώρημα του σάντουιτς	el
dc.title	Δύο τοπολογικές ομορφιές: το Θεώρημα Borsuk-Ulam και το Θεώρημα του σάντουιτς	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Τοπολογία	el
heal.dateAvailable	2018-12-17T22:00:00Z
heal.language	el
heal.access	campus
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2017-09-29
heal.abstract	Η Τοπολογία αποτελεί ένα σπουδαίο πεδίο έρευνας στα σύγχρονα Μαθηματικά, κατέχει μια σημαντική θέση στην καρδιά των Μαθηματικών και η επίδρασή της επεκτείνεται προς όλες τις κατευθύνσεις. Ο όρος τοπολογία χρησιμοποιείται για δύο διαφορετικούς κλάδους των Μαθηματικών. Από της εμφανίσεώς τους, για να διακρίνονται οι δύο κλάδοι, η λέξη τοπολογία χρησιμοποιούνταν σε συνδυασμό με δύο προσδιοριστικά επίθετα. Ο πρώτος κλάδος, που τον ανέπτυξε αρχικά ο Poincaré, ονομάστηκε συνδυαστική ή αλγεβρική τοπολογία (combinatorial ή algebraic topology) και ο δεύτερος, που πρώτος τον εξερεύνησε ο Cantor, ονομάστηκε γενική ή συνολοθεωρητική τοπολογία (general topology), η οποία θεωρεί τα γεωμετρικά σχήματα ως συλλογές σημείων, ενώ ολόκληρη η συλλογή συχνά θεωρείται ότι αποτελεί ολόκληρο το χώρο. Η τοπολογία έχει εισχωρήσει σε διάφορους κλάδους, όπως στην απόδειξη θεωρημάτων ύπαρξης λύσεων διαφορικών εξισώσεων ή όταν ο Poincaré την εφάρμοσε στη μελέτη δυναμικών συστημάτων στη θεωρητική μηχανική. Για παράδειγμα, η θεωρία γραφημάτων εφαρμόζεται στο σχεδιασμό κυκλωμάτων υπολογιστών, αφού οι συνδέσεις μεταξύ των ολοκληρωμένων κυκλωμάτων πρέπει να ευρίσκονται επάνω στην επίπεδη επιφάνεια μιας πλακέτας. Σήμερα, η τοπολογία και οι επιμέρους κλάδοι της έχουν ευρύτατη εφαρμογή στην αστρονομία και την κοσμολογία και μπορεί να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε τη δομή του Σύμπαντος, όπου τα διάφορα θεωρούμενα μοντέλα προϋποθέτουν για τη μελέτη τους τοπολογικές ιδιότητες. Περίοπτη θέση στην Αλγεβρική Τοπολογία κατέχει το Θεώρημα Borsuk-Ulam. Το θεώρημα αυτό το ισχυρίστηκε ο Stanislaw Ulam (1909-1984) και το απέδειξε ο Karol Borsuk (1905-1982) και συνήθως είναι γνωστό με την ακόλουθη διατύπωση: "Κάθε χρονική στιγμή, δύο αντιδιαμετρικά σημεία στην επιφάνεια της Γης έχουν ακριβώς την ίδια πίεση και θερμοκρασία". Η πίεση και η θερμοκρασία θεωρούνται πως μεταβάλλονται συνεχώς ως προς τη θέση. Το θεώρημα Borsuk-Ulam είναι ένα από τα χρησιμότερα εργαλεία της στοιχειώδους αλγεβρικής τοπολογίας. Αυτό συμβαίνει επειδή υπάρχουν αρκετές διαφορετικές ισοδύναμες εκδοχές του θεωρήματος αυτού και πολυάριθμες αποδείξεις του, παρέχει ένα πλήθος γενικεύσεων και ενδιαφέρουσες εφαρμογές. Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι η ύπαρξη αρκετών αποδείξεων του θεωρήματος Borsuk-Ulam, οι οποίες μπορούν να χαρακτηρισθούν εντελώς στοιχειώδεις και απαιτούν βασικές γνώσεις Μαθηματικών και όχι μεθόδους της αλγεβρικής τοπολογίας. Στη διπλωματική αυτή παρουσιάζουμε: (α) κάποιες ισοδύναμες μορφές του Θεωρήματος Borsuk-Ulam, καθώς και μια απόδειξή του, (β) ορισμένες εφαρμογές του θεωρήματος αυτού, μεταξύ των οποίων και το περίφημο Θεώρημα του σάντουιτς.	el
heal.abstract	In mathematics, topology is concerned with the properties of space that are preserved under continuous deformations. Topology has many subfields: (1) General topology, also called point-set topology, establishes the foundational aspects of topology and investigates properties of topological spaces and concepts inherent to topological spaces. It defines the basic notions used in all other branches of topology (including concepts like compactness and connectedness). (2) Algebraic topology tries among other things to measure degrees of connectivity using algebraic constructs such as homology and homotopy groups. (3) Differential topology is the field dealing with differentiable functions on differentiable manifolds. It is closely related to differential geometry and together they make up the geometric theory of differentiable manifolds. (4) Geometric topology primarily studies manifolds and their embeddings (placements) in other manifolds. A particularly active area is low-dimensional topology, which studies manifolds of four or fewer dimensions. This includes knot theory, the study of mathematical knots. A number of important results in combinatorics, discrete geometry, and theoretical computer science have been proved by surprising applications of algebraic topology. The Borsuk-Ulam theorem is one of the most useful tools offered by elementary algebraic topology to the outside world. Here are four reasons why this is such a great theorem: there are several different equivalent versions, many different proofs, a host of extensions and generalizations and numerous interesting applications. In mathematical measure theory, for every positive integer n the ham sandwich theorem states that given n measurable "objects" in n-dimensional Euclidean space, it is possible to divide all of them in half (with respect to their measure, i.e. volume) with a single (n-1)-dimensional hyperplane. It was proposed by Hugo Steinhaus and proved by Stefan Banach (explicitly in dimension 3, without bothering to automatically state the theorem in the n-dimensional case), and also years later called the Stone-Tukey theorem after Arthur H. Stone and John Tukey.	en
heal.advisorName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Φελλούρης, Ανάργυρος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	88 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true