Εφαρμογή των Feynman path integrals στα Στοχαστικά Μοντέλα των Επιτοκίων

Abstract

Ο στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να περιγράψει μια εναλλακτική προσέγγιση στη θεωρία των στοχαστικών μοντέλων των επιτοκίων χρησιμοποιώντας μια έμμεση σύνδεση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ), με τη θεωρία των Πιθανοτήτων και τη Στοχαστική Ανάλυση. Η σύνδεση αυτή ανακαλύφθηκε αρχικά από τον R. Feynman, αλλά επεκτάθηκε και αυστηροποιήθηκε με την έρευνα του Μ. Kac οδηγώντας στην περίφημη Feyman-Kac formula. Υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, οι λύσεις μιας συγκεκριμένης κλάσης ΜΔΕ (παραβολικού τύπου) επιδέχονται μια στοχαστική αναπαράσταση. Αρχικά, συνδυάζουμε πορίσματα της Feynman-Kac θεωρίας με τη χρηματοοικονομική θεωρία με στόχο την τιμολόγηση ομολόγων σε συνθήκες μη κερδοσκοπίας. Ως δύο εφαρμογές, μελετούμε με πιθανοθεωρητικές μεθόδους το μοντέλο του Vasicek και το μοντέλο των Ho-Lee καταλήγοντας σε αναλυτικούς τύπους της τιμής του ομολόγου. Στο παράρτημα παρατίθεται ένας αλγόριθμος τύπου Monte Carlo τιμολόγησης ομολόγων, δοθέντος ενός στοχαστικού μοντέλου των επιτοκίων.

The purpose of this thesis is to describe an alternative theory of stochastic interest rate modeling using tools from the subtle connection of Partial Differential Equations (PDEs), with the theory of Probability and Stochastic Analysis. The latter link was originally discovered by R. Feynman, but was further extended and made rigorous by the research work of Μ. Kac resulting to the famous Feyman-Kac formula. Under suitable conditions, the solutions of a particular class of PDEs (of parabolic type) are subject to a stochastic representation. Firstly, we combine the Feynman-Kac results with the theory of Mathematical Finance resulting in the zero-coupon bond pricing formula under no arbitrage conditions. As two applications, we study by probability methods the Vasicek and the Ho-Lee models, providing solutions in closed form. In the appendix, we provide a Monte Carlo algorithm of bond pricing, given a stochastic model of the interest rates.