Διακριτά αντίστροφα προβλήματα: εφαρμογές με θόρυβο

Κυριακούδη, Αίγλη; Kyriakoudi, Aigli

dc.contributor.author	Κυριακούδη, Αίγλη	el
dc.contributor.author	Kyriakoudi, Aigli	en
dc.date.accessioned	2018-06-19T09:55:53Z
dc.date.available	2018-06-19T09:55:53Z
dc.date.issued	2018-06-19
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/47080
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.15169
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Διακριτά αντίστροφα προβλήματα	el
dc.subject	Ανάπτυγμα ιδιαζουσών τιμών	el
dc.subject	Παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών	el
dc.subject	Γκαουσιανός λευκός θόρυβος	el
dc.subject	Μέθοδοι διακριτοποίησης	el
dc.subject	Inverse problems	el
dc.subject	White noise	el
dc.subject	Singular value expansion	el
dc.subject	Singular value decomposition	el
dc.subject	Tikhonov	el
dc.title	Διακριτά αντίστροφα προβλήματα: εφαρμογές με θόρυβο	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-02-23
heal.abstract	Τα αντίστροφα προβλήματα είναι μαθηματικά προβλήματα που εμφανίζονται όταν επιθυμούμε να ανακτήσουμε κάποιες πληροφορίες από δεδομένα που περιέχουν σφάλματα. Σε αυτή τη διπλωματική εργασία ασχολούμαστε με τα αντίστροφα προβλήματα που προκύπτουν για προβλήματα που διατυπώνονται με την ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm πρώτου είδους. Η ανάλυση της επίλυσης αυτών των προβλημάτων γίνεται με το ανάπτυγμα ιδιαζουσών τιμών (SVE) για το συνεχές πρόβλημα. Το συνεχές πρόβλημα επιλύεται δύσκολα αριθμητικά οπότε το μετατρέπουμε σε ένα διακριτό πρόβλημα το οποίο ισοδυναμεί με ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η διακριτοποίηση γίνεται με τη μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης ή τη μέθοδο αναπτύγματος Galerkin. Η παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών (SVD) χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το SVE για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος. Με τη βοήθεια της SVD ορίζεται η συνθήκη Picard, η ικανοποίηση της οποίας εξασφαλίζει την επιλυσιμότητα του προβλήματος. Στη συνέχεια, μελετάμε τα σφάλματα, δηλαδή το θόρυβο που υπάρχει στα δεδομένα, ο οποίος ακολουθεί την Γκαουσιανή κατανομή. Η ομαλότητα της λύσης έχει ως απαίτηση τη μείωση του θορύβου. Για αυτό το σκοπό εισάγονται τρεις μέθοδοι ομαλοποίησης, η Truncated SVD (TSVD), η Selective SVD (SSVD) και η μέθοδος Tikhonov. Οι δύο πρώτες μέθοδοι απαιτούν τον υπολογισμό της SVD ενώ η μέθοδος Tikhonov απαιτεί την επίλυση ενός προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων. Για τη μέθοδο Tikhonov χρησιμοποιείται η μέθοδος της L-curve για την ανάλυση του προβλήματος. Εκτός από το θόρυβο που ακολουθεί την Γκαουσιανή κατανομή, υπάρχουν και άλλα είδη θορύβου, τα οποία μετατρέπουμε με κατάλληλους μετασχηματισμούς σε θόρυβο που μοιάζει με τον προηγούμενο, για να είναι πιο εύκολη η διαδικασία επίλυσης. Τέλος, παρουσιάζονται κάποιες υπολογιστικές εφαρμογές για την εξαγωγή συμπερασμάτων σύμφωνα με τη θεωρία που αναπτύχθηκε.	el
heal.abstract	Inverse problems are mathematical problems that appear when we wish to recover some information about noisy data. In this diploma thesis, we focus on inverse problems that arise for problems formulated with Fredholm integral equations of the first kind. The analysis of these problems begins with the singular value expansion (SVE) for the continuous problem. The continuous problem has difficulties in numerical computation, so we transform it into a discrete problem that is equal to a linear system of equations. The discretization of the problem is achieved through the use of quadrature methods or expansion methods. The singular value decomposition (SVD) is used, in combination with the SVE for the numerical computation of the problem. The analysis of the SVD coefficients of the problem leads to the introduction of the Picard condition, the satisfaction of which ensures the solvability of the problem. Then, we study the errors, i.e. the noise in the data, which follows the Gaussian distribution. The regularity and stability of the solution requires the reduction of noise. For this reason, three regularization methods are introduced: Truncated SVD (TSVD), Selective SVD (SSVD) and Tikhonov’s method. The first two methods require the computation of the SVD, whereas Tikhonov’s method requires the solution of a least squares problem. For Tikhonov’s method, the method of L-curve is used for the analysis of the problem. In addition to the noise that follows the Gaussian distribution, there are other types of noise. With appropriate transformations, we transform these types of noise into a noise that resembles the previous one, so that the solution process is easier. Finally, some computational applications are presented, to draw conclusions according to the theory that was developed.	en
heal.advisorName	Γκιντίδης, Δρόσος	el
heal.committeeMemberName	Λουλάκης, Μιχαήλ	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	84 σ.
heal.fullTextAvailability	true