Frechet derivatives of eigenelements of regular Sturm-Liouville problems

Τορέγα, Βασιλική; Torega, Vasiliki

dc.contributor.author	Τορέγα, Βασιλική	el
dc.contributor.author	Torega, Vasiliki	en
dc.date.accessioned	2018-12-03T10:02:27Z
dc.date.available	2018-12-03T10:02:27Z
dc.date.issued	2018-12-03
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48186
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.8969
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”	el
dc.rights	Default License
dc.subject	Μεταβολές Ιδιοτιμών-Ιδιοσυναρτήσεων	el
dc.subject	Προβλήματα Sturm-Liouville	el
dc.subject	Συναρτήσεις Green	el
dc.subject	Variations of eigenvalues and eigenfunctions	el
dc.subject	Sturm-Liouville problems	el
dc.subject	Green Functions	el
dc.title	Frechet derivatives of eigenelements of regular Sturm-Liouville problems	en
heal.type	masterThesis
heal.classification	Διαφορικές Εξισώσεις	el
heal.classification	Differential Equations	en
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-04-12
heal.abstract	Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τις συναρτησιακές παραγώγους ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων ομαλών προβλημάτων συνοριακών τιμών, τύπου Sturm-Liouville (S-L). Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε κάποια βασικά αποτελέσματα για τα προβλήματα S-L τα οποία θα χρειαστούν στην συνέχεια (βλ. Zettl 2005, Haberman 2004, Ch.5, Walter, 1998, pp.268-281 και Coodington & Carlson, 1997, pp.255-262).Στο δεύτερο κεφάλαιο, αρχικά εξετάζουμε την εξάρτηση των ιδιοτιμών του προβλήματος από τα άκρα του διαστήματος στο οποίο ορίζεται το πρόβλημα και εξάγουμε τις σχέσεις για τις παραγώγους των ιδιοτιμών ως προς αυτά. Τα επιχειρήματα της απόδειξης αυτής, στηρίζονται σε αυτά των KongQ. &ZettlA. (1999) στα Θεωρήματα 3.2,3.3,3.4.Στη συνέχεια, θεωρούμε ότι τα άκρα του διαστήματος παραμένουν σταθερά και αποδεικνύουμε τις σχέσεις των μεταβολών των ιδιοτιμών ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα (βλ. επίσης Kong Q., Zettl A., 1996). Έπειτα, λύνουμε ένα πρόβλημα S-L με σταθερούς συντελεστές και υπολογίζουμε τις παραγώγους των ιδιοτιμών ως προς τα άκρα του συνόρου χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης.Εφαρμόζουμε επίσης τους τύπους των μεταβολών των ιδιοτιμών στο πρόβλημα σταθερών συντελεστών και όπως ήταν αναμενόμενο ταυτίζονται με τις μεταβολές που βρήκαμε με απευθείας παραγώγηση. Το τελευταίο περιεχόμενο του 2ου κεφαλαίου είναι μία εισαγωγή στο πρόβλημα της μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα. Η διατύπωση αυτού του προβλήματος αναδεικνύει την χρησιμότητα της θεωρίας σχετικά με τα μη-ομογενή προβλήματα. Στο Κεφάλαιο 3, χρησιμοποιείται η συνάρτηση Greenώ στε να εκφράσουμε την λύση του μη ομογενούς προβλήματος. Αρχικά, κατασκευάζουμε την συνάρτηση Green όταν η παράμετρος λ δεν είναι ιδιοτιμή, και αποδεικνύουμε την έκφραση της λύσης και την μοναδικότητα της (βλ.Stone & Goldbart 2009, Sec.5.2, Butkov, 1973, pp.508-514).Όταν η παράμετρος λ είναι ιδιοτιμή, η συνάρτηση Green όπου αναφέρεται ως Generalized Green’s Function (GGF) ή Modified Green’s Function ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο μη ομογενές πρόβλημα το οποίο λύνουμε με την μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων (βλ.Stakgolt, 2011, Sec.3.5, Haberman,2004, Sec.9.4.3, Stone & Goldbart,2009, Sec. 5.2.3 ).H έκφραση της συνάρτησης Greenσε αυτήν την περίπτωση δεν είναι συμμετρική αλλά είναι δυνατόν να γίνει σύμφωνα με τις υποδείξεις του Haberman στο Haberman R.,Green’sFunction, Lecture 7, σχετικά με την κατασκευή της GGF και τον τρόπο να γίνει συμμετρική. Στην Ενότητα 3.4 αποδεικνύουμε την ύπαρξη και την έκφραση της λύσης του μη-ομογενούς προβλήματος και συμπεραίνουμε ότι η λύση δεν είναι μοναδική (βλ. Haberman, 2004, pp.409-411).Στην τελευταία ενότητα του κεφαλαίου 3, παρουσιάζουμε την βασική θεωρία που χρειάζεται για να λυθεί ένα πλήρως μη-ομογενές πρόβλημα, αφού η μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων ικανοποιεί ένα πρόβλημα τέτοιου τύπου. Η μέθοδος που ακολουθούμε είναι να ανάγουμε το προαναφερθέν πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο μη-ομογενές. Στην Ενότητα 4.1, αφού παρουσιάσαμε την κατάλληλη θεωρία στο Κεφάλαιο 3, μπορούμε να λύσουμε το πλήρως μη-ομογενές πρόβλημα που ικανοποιείται από την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων. Όπως αναφέραμε στο Κεφάλαιο 3, η λύση του προβλήματος δεν είναι μοναδική, κάτι που είναι αναμενόμενο αφού οι ιδιοσυναρτήσεις δεν είναι μοναδικές. Έτσι, υποθέτουμε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις του αρχικού και του διαταραγμένου προβλήματος συνοριακών τιμών είναι κανονικοποιημένες στην μονάδα και αυτή η υπόθεση καθιστά την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων μονοσήμαντα ορισμένη. Όσον αφορά την τελευταία ενότητα της παρούσας εργασίας, που ασχολείται με την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τα άκρα του διαστήματος, δεν υπάρχουν βιβλιογραφικά στοιχεία. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα εφαρμόζουμε έναν μετασχηματισμό στο διαταραγμένο πρόβλημα και με αυτόν τον τρόπο ανάγουμε το πρόβλημα μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς το σύνορο στο πρόβλημα της μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα το οποίο έχει ήδη λυθεί στην προηγούμενη Ενότητα.	el
heal.advisorName	Αθανασούλης, Γεράσιμος	el
heal.committeeMemberName	Κραββαρίτης, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	89 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true