HEAL DSpace

Frechet derivatives of eigenelements of regular Sturm-Liouville problems

DSpace/Manakin Repository

Show simple item record

dc.contributor.author Τορέγα, Βασιλική el
dc.contributor.author Torega, Vasiliki en
dc.date.accessioned 2018-12-03T10:02:27Z
dc.date.available 2018-12-03T10:02:27Z
dc.date.issued 2018-12-03
dc.identifier.uri https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48186
dc.identifier.uri http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.8969
dc.description Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες” el
dc.rights Default License
dc.subject Μεταβολές Ιδιοτιμών-Ιδιοσυναρτήσεων el
dc.subject Προβλήματα Sturm-Liouville el
dc.subject Συναρτήσεις Green el
dc.subject Variations of eigenvalues and eigenfunctions el
dc.subject Sturm-Liouville problems el
dc.subject Green Functions el
dc.title Frechet derivatives of eigenelements of regular Sturm-Liouville problems en
heal.type masterThesis
heal.classification Διαφορικές Εξισώσεις el
heal.classification Differential Equations en
heal.language en
heal.access free
heal.recordProvider ntua el
heal.publicationDate 2018-04-12
heal.abstract Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τις συναρτησιακές παραγώγους ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων ομαλών προβλημάτων συνοριακών τιμών, τύπου Sturm-Liouville (S-L). Στο πρώτο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε κάποια βασικά αποτελέσματα για τα προβλήματα S-L τα οποία θα χρειαστούν στην συνέχεια (βλ. Zettl 2005, Haberman 2004, Ch.5, Walter, 1998, pp.268-281 και Coodington & Carlson, 1997, pp.255-262).Στο δεύτερο κεφάλαιο, αρχικά εξετάζουμε την εξάρτηση των ιδιοτιμών του προβλήματος από τα άκρα του διαστήματος στο οποίο ορίζεται το πρόβλημα και εξάγουμε τις σχέσεις για τις παραγώγους των ιδιοτιμών ως προς αυτά. Τα επιχειρήματα της απόδειξης αυτής, στηρίζονται σε αυτά των KongQ. &ZettlA. (1999) στα Θεωρήματα 3.2,3.3,3.4.Στη συνέχεια, θεωρούμε ότι τα άκρα του διαστήματος παραμένουν σταθερά και αποδεικνύουμε τις σχέσεις των μεταβολών των ιδιοτιμών ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα (βλ. επίσης Kong Q., Zettl A., 1996). Έπειτα, λύνουμε ένα πρόβλημα S-L με σταθερούς συντελεστές και υπολογίζουμε τις παραγώγους των ιδιοτιμών ως προς τα άκρα του συνόρου χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης.Εφαρμόζουμε επίσης τους τύπους των μεταβολών των ιδιοτιμών στο πρόβλημα σταθερών συντελεστών και όπως ήταν αναμενόμενο ταυτίζονται με τις μεταβολές που βρήκαμε με απευθείας παραγώγηση. Το τελευταίο περιεχόμενο του 2ου κεφαλαίου είναι μία εισαγωγή στο πρόβλημα της μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα. Η διατύπωση αυτού του προβλήματος αναδεικνύει την χρησιμότητα της θεωρίας σχετικά με τα μη-ομογενή προβλήματα. Στο Κεφάλαιο 3, χρησιμοποιείται η συνάρτηση Greenώ στε να εκφράσουμε την λύση του μη ομογενούς προβλήματος. Αρχικά, κατασκευάζουμε την συνάρτηση Green όταν η παράμετρος λ δεν είναι ιδιοτιμή, και αποδεικνύουμε την έκφραση της λύσης και την μοναδικότητα της (βλ.Stone & Goldbart 2009, Sec.5.2, Butkov, 1973, pp.508-514).Όταν η παράμετρος λ είναι ιδιοτιμή, η συνάρτηση Green όπου αναφέρεται ως Generalized Green’s Function (GGF) ή Modified Green’s Function ικανοποιεί ένα συγκεκριμένο μη ομογενές πρόβλημα το οποίο λύνουμε με την μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων (βλ.Stakgolt, 2011, Sec.3.5, Haberman,2004, Sec.9.4.3, Stone & Goldbart,2009, Sec. 5.2.3 ).H έκφραση της συνάρτησης Greenσε αυτήν την περίπτωση δεν είναι συμμετρική αλλά είναι δυνατόν να γίνει σύμφωνα με τις υποδείξεις του Haberman στο Haberman R.,Green’sFunction, Lecture 7, σχετικά με την κατασκευή της GGF και τον τρόπο να γίνει συμμετρική. Στην Ενότητα 3.4 αποδεικνύουμε την ύπαρξη και την έκφραση της λύσης του μη-ομογενούς προβλήματος και συμπεραίνουμε ότι η λύση δεν είναι μοναδική (βλ. Haberman, 2004, pp.409-411).Στην τελευταία ενότητα του κεφαλαίου 3, παρουσιάζουμε την βασική θεωρία που χρειάζεται για να λυθεί ένα πλήρως μη-ομογενές πρόβλημα, αφού η μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων ικανοποιεί ένα πρόβλημα τέτοιου τύπου. Η μέθοδος που ακολουθούμε είναι να ανάγουμε το προαναφερθέν πρόβλημα σε ένα ισοδύναμο μη-ομογενές. Στην Ενότητα 4.1, αφού παρουσιάσαμε την κατάλληλη θεωρία στο Κεφάλαιο 3, μπορούμε να λύσουμε το πλήρως μη-ομογενές πρόβλημα που ικανοποιείται από την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων. Όπως αναφέραμε στο Κεφάλαιο 3, η λύση του προβλήματος δεν είναι μοναδική, κάτι που είναι αναμενόμενο αφού οι ιδιοσυναρτήσεις δεν είναι μοναδικές. Έτσι, υποθέτουμε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις του αρχικού και του διαταραγμένου προβλήματος συνοριακών τιμών είναι κανονικοποιημένες στην μονάδα και αυτή η υπόθεση καθιστά την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων μονοσήμαντα ορισμένη. Όσον αφορά την τελευταία ενότητα της παρούσας εργασίας, που ασχολείται με την μεταβολή των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τα άκρα του διαστήματος, δεν υπάρχουν βιβλιογραφικά στοιχεία. Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα εφαρμόζουμε έναν μετασχηματισμό στο διαταραγμένο πρόβλημα και με αυτόν τον τρόπο ανάγουμε το πρόβλημα μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς το σύνορο στο πρόβλημα της μεταβολής των ιδιοσυναρτήσεων ως προς τις συναρτήσεις-δεδομένα το οποίο έχει ήδη λυθεί στην προηγούμενη Ενότητα. el
heal.advisorName Αθανασούλης, Γεράσιμος el
heal.committeeMemberName Κραββαρίτης, Δημήτριος el
heal.committeeMemberName Παπανικολάου, Βασίλειος el
heal.academicPublisher Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών el
heal.academicPublisherID ntua
heal.numberOfPages 89 σ. el
heal.fullTextAvailability true


Files in this item

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record