Η κατά απομάκρυνση ενός τυχαίου τετραγωνικού πίνακα από την κανονικότητα

Κούτση, Φελήσια; Kuci, Felisja

dc.contributor.author	Κούτση, Φελήσια	el
dc.contributor.author	Kuci, Felisja	en
dc.date.accessioned	2018-12-05T11:39:18Z
dc.date.available	2018-12-05T11:39:18Z
dc.date.issued	2018-12-05
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48211
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16220
dc.rights	Default License
dc.subject	Μη-κανονικός πίνακας	el
dc.subject	Non normal matrix	en
dc.subject	Απομάκρυνση από την κανονικότητα	el
dc.subject	Αριθμητικό πεδίο	el
dc.subject	Ιδιοτιμές	el
dc.subject	Φράγμα για την απομάκρυνση	el
dc.subject	Departure from normality	en
dc.subject	Numerical range	en
dc.subject	Eigenvalues	en
dc.subject	Bounds for departure	en
dc.title	Η κατά απομάκρυνση ενός τυχαίου τετραγωνικού πίνακα από την κανονικότητα	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-10-03
heal.abstract	In this thesis, we concentrate our study in the departure from normality of an arbitrary square matrix A of order n with complex elements as defined by Henrici, which is directly computable only for the Frobenius norm, and will show its significance in estimating other quantities. The departure from normality of matrix A is associated with the concept of the closest normal matrix to A and measures the distance of A from all the normal matrices which have exactly the same eigenvalues as A, considering their multiplicities. Firstly, we mention the Schur Theorem, which is a very helpful tool in the triangulation of matrices and which we will use in some proofs of theorems. Then, we give a bound derived by Henrici for the departure from normality, describe iterated matrices, their norms and some approximate solutions of linear systems. Later, we refer to spectral variation and eigenvalue variation of matrices, which are two concepts that combine the eigenvalues of two different matrices. Also, we describe the field of values of a matrix and give some theorems about the distance of the boundary of the field of values of a non-normal matrix from the convex hull of its eigenvalues. The departure from normality of a matrix is a real scalar that is impractical to compute if a matrix is large and its eigenvalues are unknown. A simple formula is presented for computing an upper bound for departure from normality in the Frobenius norm. This new upper bound is cheaper to compute than the upper bound derived by Henrici. Finally, the best available bounds for departure from normality are given. Moreover, these new lower and upper bounds are sharp for Hermitian matrices, skew-Hermitian matrices and, in general, any matrix with eigenvalues that are horizontally or vertically aligned in the complex plane.	en
heal.abstract	Στη παρούσα εργασία επικεντρωνόμαστε στην απομάκρυνση ενός τυχαίου τετραγωνικού πίνακα από την κανονικότητα κατά Henrici,η οποία είναι άμεσα υπολογίσιμη μόνο για τη νόρμα Frobenius,και θα δείξουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εκτίμηση άλλων ποσοτήτων. Η απομάκρυνση κατά Henrici συνδέεται με την έννοια του πλησιέστερου στον Α κανονικού πίνακα και μετρά την απόσταση του Α από τους κανονικούς πίνακες που έχουν τις ίδιες ακριβώς ιδιοτιμές με τον Α,λαμβάνοντας υπόψη και τις πολλαπλότητές τους. Αρχικά γίνεται μια αναφορά στο Θεώρημα του Schur που είναι ένα εύχρηστο εργαλείο για τη τριγωνοποίηση πινάκων και θα μας χρειαστεί σε αποδείξεις θεωρημάτων. Στη συνέχεια δίνουμε ένα φράγμα για την απομάκρυνση από την κανονικότητα, αναφερόμαστε σε δυνάμεις πινάκων μαζί με βασικές ιδιότητές τους και περιγράφουμε τις προσεγγιστικές λύσεις γραμμικών συστημάτων. Έπειτα αναφερόμαστε στη φασματική μεταβολή και στη μεταβολή ιδιοτιμών. Πρόκειται για δύο έννοιες που συσχετίζουν τις ιδιοτιμές δύο διαφορετικών πινάκων. Εν συνεχεία, δίνονται φράγματα για τη φασματική μεταβολή και για τη μεταβολή ιδιοτιμών. Eπίσης, περιγράφουμε το αριθμητικό πεδίο ενός πίνακα και δίνουμε κάποια χρήσιμα θεωρήματα για την απόσταση ενός σημείου του αριθμητικού πεδίου ενός μη κανονικού πίνακα από την κυρτή θήκη των ιδιοτιμών του. Η απομάκρυνση από την κανονικότητα ενός πίνακα είναι ένα πραγματικό βαθμωτό μέγεθος, το οποίο δεν είναι πρακτικό να υπολογιστεί αν ο πίνακας έχει μεγάλες διαστάσεις και οι ιδιοτιμές του είναι άγνωστες. Θα παρουσιάσουμε έναν απλό τύπο για τον υπολογισμό ενός καινούργιου άνω φράγματος για την απομάκρυνση από την κανονικότητα. Αυτό το καινούργιο άνω φράγμα φθηνότερο να υπολογιστεί από το άνω φράγμα κατά Henrici. Tέλος, δίνουμε τα καλύτερα δυνατά φράγματα για την απομάκρυνση από την κανονικότητα. Αυτά τα νέα άνω και κάτω φράγματα είναι βέλτιστα για ερμιτιανούς πίνακες, αντιερμιτιανούς πίνακες, και γενικά για κάθε πίνακα με ιδιοτιμές οριζόντια ή κάθετα ευθυγραμμισμένες στο μιγαδικό επίπεδο.	el
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Γιαννακάκης, Νικόλαος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	70 σ.
heal.fullTextAvailability	true