Μέθοδοι επίλυσης και κατάσταση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων

Ματζάκος, Νικόλαος; Matzakos, Nikolaos

dc.contributor.author	Ματζάκος, Νικόλαος	el
dc.contributor.author	Matzakos, Nikolaos	en
dc.date.accessioned	2019-04-02T09:23:19Z
dc.date.available	2019-04-02T09:23:19Z
dc.date.issued	2019-04-02
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48568
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16016
dc.rights	Default License
dc.subject	Αποσύνθεση	el
dc.subject	Παραγοντοποίηση	el
dc.subject	Πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων	el
dc.subject	Κατάσταση	el
dc.subject	Ευστάθεια	el
dc.subject	Προβολή	el
dc.subject	SVD	en
dc.subject	QR	en
dc.subject	Gram-Schmidt	en
dc.subject	Householder	en
dc.title	Μέθοδοι επίλυσης και κατάσταση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Αριθμητική γραμμική άλγεβρα	el
heal.classificationURI	http://data.seab.gr/concepts/5c317645f5031316e9bb6832fe9f611130666229
heal.language	el
heal.access	campus
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-10-08
heal.abstract	Η παρούσα διπλωματική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των υποχρεώσεων της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Με το πέρασμα των χρόνων και τις ραγδαίες εξελίξεις στον τομέα της επιστήμης των υπολογιστών (Machine Learning, Data Mining) αλλά και γενικότερα των θετικών επιστημών, οι αλγόριθμοι ανάλυσης και παραγοντοποίησης πινάκων μοιάζουν με ένα απαραίτητο εργαλείο καθώς μετατρέπουν τους πίνακες σε μια “γλώσσα” τόσο για την επιστήμη της ανάλυσης δεδομένων όσο και για τις φυσικές επιστήμες. Παράλληλα η διατύπωση των προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων υπό προϋποθέσεις παρουσιάζει ένα μοντέλο προσεγγιστικής επίλυσης το οποίο μέσω της ελαχιστοποίησης του σφάλματος ανάμεσα στην πραγματική και την προσεγγιστική λύση αποτελεί μία αρκετά αποτελεσματική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων. Ο συνδυασμός των παραπάνω αλγορίθμων με την επίλυση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων συγκεντρώνει αρκετά μεγάλο ενδιαφέρον ως προς τη μελέτη του. Με αφορμή λοιπόν τη χρησιμότητα αυτών των αλγορίθμων, σκοπός της διπλωματικής είναι η παρουσίαση βασικών αλγορίθμων αποσύνθεσης και παραγοντοποίησης πινάκων καθώς και τρόπων επίλυσης προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων. Στο πρώτο κεφάλαιο, θα αναφερθούν βασικοί ορισμοί και θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας, της ανάλυσης πινάκων και της πραγματικής ανάλυση, απαραίτητα για την κατανόηση της εργασίας. Επίσης θα γίνει μια αναλυτική παρουσίαση της μεθόδου SVD (ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές), μια περιεκτική αναφορά στην μέθοδο EVD (ανάλυση πίνακα σε ιδιοτιμές) καθώς και μια σύγκρισή τους. Τέλος θα δούμε τις πιο σημαντικές ιδιότητες που συνδέουν την SVD με πίνακες αποδεικνύοντας έτσι τη χρησιμότητα και τη σημαντικότητά της. Στο δεύτερο κεφάλαιο, γίνεται αναφορά στον ορισμό της προβολής, στο πως μπορεί να κατασκευαστεί ένας προβολέας και στις ιδιότητες του. Έπειτα παρουσιάζεται μία από τις πιο σημαντικές μεθόδους παραγοντοποίησης πίνακα, η QR, και η πιο διαδεδομένη μέθοδος (κλασική και τροποποιημένη) τριγωνικής ορθοκανονικοποίησης μιας βάσης, η Gram-Schmidt. Τέλος αναφέρεται μία σημαντική μέθοδος ορθογωνικής τριγωνοποίησης, η Householder, διατυπώνεται το πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων και παρουσιάζονται οι τρεις πιο σημαντικοί μέθοδοι επίλυσής του. Στο τρίτο κεφάλαιο, παρουσιάζονται οι έννοιες της κατάστασης και της ευστάθειας που βασίζονται στην ιδέα του πως ανταποκρίνεται ένα σύνολο υπολογισμών σε διαταραχές. Αρχικά γίνεται αναφορά στην κατάσταση του προβλήματος και στους δείκτες κατάστασης αυτού και μια εισαγωγή στην αριθμητική κινητής υποδιαστολής. Έπειτα, ορίζεται η ευστάθεια και η ακρίβεια ενός αλγορίθμου και γίνεται μια σύγκριση ανάμεσα στις έννοιες της κατάστασης και της ευστάθειας. Τέλος παρουσιάζεται η κατάσταση και η ευστάθεια προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων και γίνεται εκτενής αναφορά στους τέσσερις πολύ σημαντικούς δείκτες κατάστασης των προβλημάτων τέτοιου τύπου. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια αριθμητικά παραδείγματα που έγιναν με τη χρήση του λογισμικού Matlab και θα φανούν αρκετά χρήσιμα για την πλήρη κατανόηση της διπλωματικής και την εξαγωγή κάποιων συμπερασμάτων. Στα παραδείγματα αυτά επιβεβαιώνονται θεωρήματα που εμφανίστηκαν στην έκταση τις εργασίας και αφορούσαν μεθόδους παραγοντοποίησης και αποσύνθεσης πινάκων. Τέλος παρουσιάζεται η λύση ενός προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων καθώς και μια μελέτη ως προς την κατάστασή του.	el
heal.abstract	The current bachelor thesis completed in need of the School of Applied Mathematics and Physical Sciences, part of the National Technical University of Athens. Because of the evolution in the field of computer science (Machine Learning, Data Mining) and general in the natural sciences through the last years, the decomposition and factorization algorithms for matrices became an indispensable tool since they turn matrices into a language for these fields. At the same time, the formulation of least squares problems under certain conditions presents a model of chasing an approximate solution of the problem through the minimization of the residual error, and it seems to be a very effective method of solving problems. The combination of these algorithms with the solution of least squares problems is very interesting in making research on it. Therefore, because of the utility of these algorithms, the purpose of this thesis is to present the basic factorization and decomposition algorithms for matrices and the different methods least squares problems can be solved. In the first chapter, there is a reference to the basic definitions and theorems of linear algebra, matrix analysis and real analysis, which are necessary for understanding this diploma thesis. Likewise, there is an analytic presentation of the SVD (singular-value decomposition), a comprehensive reference to the EVD (eigenvalue decomposition) and a comparison of them. In the end of this chapter, there are the most significant properties that connect SVD with matrices showing how important and useful SVD is. In the second chapter, there is a reference to the definition of the projection, to how the construction of a projector is done and to its properties. Afterwards, there is one of the most significant methods of matrix factorization, QR, and the most widespread method (classical and modified) of triangular orthogonalization, the Gram-Schmidt process. Finally, there is a reference to an orthogonal triangularization method, the Householder process, and to the definition of the least squares problem with its three most significant ways that can be solved. In the third chapter, there is a presentation of the meanings of the condition and the stability, which are based on the concept of how a sequence of calculations reacts to perturbations. Firstly, there is a reference to the condition of a problem and to its condition numbers and then an introduction to the floating-point arithmetic. After that, there is the definition of the stability and the precision of an algorithm and a comparison between condition and stability. In the end of the third chapter, takes place the condition, the stability of least squares problems, and there is an extensive reference to the four condition numbers of these types of problems. In the fourth and last chapter, there are examples that came up from Matlab and there are helpful for understanding the theory that mentioned in the three previous chapters and for making conclusions. These examples are also very useful for confirming the theorems that appeared in this thesis according decomposition and factorization of matrices. Finally, a least squares problem solution takes place, its condition numbers and some conclusion that characterizes this problem.	en
heal.advisorName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Κολέτσος, Ιωάννης	el
heal.committeeMemberName	Κοκκίνης, Βασίλειος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	121 σ.
heal.fullTextAvailability	true