Ταξινόμηση συμπαγών επιφανειών με βάση την απόδειξη του Conway & χρωματισμοί χαρτών

Ευθυμίου, Κωνσταντίνος; Efthymiou, Konstantinos

dc.contributor.author	Ευθυμίου, Κωνσταντίνος	el
dc.contributor.author	Efthymiou, Konstantinos	en
dc.date.accessioned	2019-04-12T08:05:02Z
dc.date.available	2019-04-12T08:05:02Z
dc.date.issued	2019-04-12
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48623
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16544
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Τοπολογία	el
dc.subject	Πολλαπλότητες	el
dc.subject	Ταξινόμηση	el
dc.subject	Χάρτης	el
dc.subject	Χρωματισμοί	el
dc.subject	Heawood	en
dc.subject	Conway	en
dc.subject	Surface	en
dc.subject	Classification	en
dc.subject	Manifolds	en
dc.title	Ταξινόμηση συμπαγών επιφανειών με βάση την απόδειξη του Conway & χρωματισμοί χαρτών	el
dc.title	Classification of compact surfaces based on Conway's proof & maps coloring	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Τοπολογία	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-10-01
heal.abstract	Η Τοπολογία αποτελεί ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών, και ιδιαιτέρως των σύγχρονων μαθηματικών. Ιστορικά η τοπολογία ξεκίνησε από τη δημοσίευση του Γάλλου μαθηματικού Henri Poincare το 1895 με τίτλο Analysis Situs ή «Ανάλυση Θέσης» και θεωρείται το δεύτερο όνομα της. H μελέτη της τοπολογίας επικεντρώνεται στους τομείς της γεωμετρίας (γεωμετρική τοπολογία) και της συνολοθεωρίας (γενική τοπολογία). Η γενική τοπολογία ασχολείται με τη θεωρία συνόλων και αποτελεί θεμέλιο για την ανάπτυξη άλλων κλάδων, όπως η αλγεβρική και η διαφορική τοπολογία. Αντίθετα η γεωμετρική, ασχολείται κυρίως με πολλαπλότητες, που περιλαμβάνουν τις γνωστές μας καμπύλες και επιφάνειες. Οι επιφάνειες, που θα τις δούμε ως πολλαπλότητες, μπορούν να παραμορφώνονται, δηλαδή να τεντώνονται, να στρίβουν, να λυγίζουν και να συρρικνώνονται, παραμένοντας όμως τοπολογικά ισοδύναμες. Ωστόσο, σε αυτές τις συνεχείς παραμορφώσεις υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί. Δεν έχουμε το δικαίωμα να σκίσουμε ή να κολλάμε κομμάτια της επιφάνειας μεταξύ τους. Παρότι είναι μεγάλο και ποικιλόμορφο το εύρος των μορφών των επιφανειών που συναντάμε σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, από την ανάλυση μέχρι και τα δυναμικά συστήματα, το θεώρημα ταξινόμησης μας εξασφαλίζει ότι οι ποικίλες μορφές των κλειστών αυτών επιφανειών είναι τοπολογικά ισοδύναμες με σφαίρες που διαθέτουν αριθμό χερουλιών ή τεμνόμενων σκούφων. Ανάλυση για την ταξινόμηση και την ισοδυναμία των επιφανειών θα δούμε στο τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο. Σκοπός του θεωρήματος είναι να τις ταξινομούμε και ως προς τον προσανατολισμό τους. Αξίζει να σημειώσουμε ότι υπάρχουν αρκετοί τρόποι απόδειξης του θεωρήματος αλλά επιλέξαμε την απόδειξη του μαθηματικού J.H. Conway γνωστή με το όνομα απόδειξη ZIP, που είναι πολύ εποπτική και χρησιμοποιεί το φερμουάρ (zip στα αγγλικά) ως εποπτικό βοήθημα. Τέλος, θα ασχοληθούμε με ένα ενδιαφέρον θέμα των μοντέρνων μαθηματικών και αυτό είναι οι χρωματισμοί χαρτών στις επιφάνειες ιδιαιτέρως στο επίπεδο. Για τη μαθηματικοποίηση του προβλήματος, θα υπάρξουν κάποιες λογικές διαφοροποιήσεις στον ορισμό του χάρτη, από την συνήθη έννοια του όρου, διότι ο χάρτης μας θα παράγεται από την πολυγωνική διαμέριση της επιφάνειας. Σκοπός μας θα είναι η διερεύνηση του ελαχίστου αριθμού χρωμάτων που απαιτείται για τον χρωματισμό ενός χάρτη πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια ώστε να μην υπάρχουν δύο γειτονικές χώρες με το ίδιο χρώμα.	el
heal.abstract	One of the most important branches of modern mathematics is topology. Its object of study is manifolds with their properties. Geometry and set-theory were the sectors on which topology was developed. Historically, it was at 1895 when topology firstly became field of mathematics because of the Henri’s Poincare publication titled “Analysis Situs” which was the first name of topology. The study of topology splits in the fields of set-theory (general topology) and geometric topology. Geometric topology deals mainly with manifolds like curves and surfaces. Surfaces can be deformed, namely stretch, twist, bend and shrink. However, they remain topologically equivalent. Moreover, these continuous deformations will have some limits. Specifically, we can’t tear apart or glue together portions of surfaces to each other. Although there is a wide range for the forms of surfaces at many fields of mathematics, from analysis to dynamical systems, the classification theorem asserts that these different forms of closed surfaces are topological equivalent with spheres which have a number of handles or crosscaps. This procedure of classification and equivalence surface will be presented at the second and third chapters. Suffice it to say that the specific theorem has a variety of proof but we chose Conway’s ZIP proof because of its intuitive nature. Finally, an interesting topic of modern mathematics is coloring maps on surfaces. We will make some changes at the map’s definition in order to explain this topic in terms of mathematics. Our maps will be created from the polygonal subdivisions of the surfaces. Our goal will be to investigate the minimum number required to color the map on a closed surface so that two neighboring countries exist with the same color.	en
heal.advisorName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	43 σ.
heal.fullTextAvailability	true