Ελλειπτικές καμπύλες: Μια θεωρητική εισαγωγή

Καραμέρης, Μάρκος; Karameris, Markos

dc.contributor.author	Καραμέρης, Μάρκος	el
dc.contributor.author	Karameris, Markos	en
dc.date.accessioned	2019-05-10T08:39:40Z
dc.date.available	2019-05-10T08:39:40Z
dc.date.issued	2019-05-10
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48677
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16561
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Ελλειπτικές καμπύλες	el
dc.subject	Δικτυωτά	el
dc.subject	Ισογένιες	el
dc.subject	Αλγεβρική γεωμετρία	el
dc.subject	Elliptic curves	en
dc.subject	Lattices	en
dc.subject	Isogenies	en
dc.subject	Algebraic geometry	en
dc.subject	Riemann-Roch	en
dc.title	Ελλειπτικές καμπύλες: Μια θεωρητική εισαγωγή	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2018-09-28
heal.abstract	Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων των ελλειπτικών καμπυλών από θεωρητική άποψη. Αρχικά ορίζουμε τα θεμελιώδη εργαλεία που θα χρησιμοποιήσουμε από την αλγεβρική γεωμετρία (Κεφάλαια 1-2) και στη συνέχεια με βάση αυτά προχωράμε στη μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών ως γεωμετρικά αντικείμενα(Κεφάλαιο 3). Στην συνέχεια μελετάμε τις ισογένιες δηλαδή τους μορφισμούς μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών (Κεφάλαιο 4). Αυτό το κάνουμε με δύο τρόπους δίνουμε δηλαδή επιπλέον μια συγκεκριμένη μορφή που χαρακτηρίζει της ισογένιες και διατυπώνουμε με βάση αυτή τα αντίστοιχα θεωρήματα και την μορφή που λαμβάνουν αν χρειαστεί να τα ελέγξει κάποιος υπολογιστικά. Στρέφουμε στη συνέχεια τη προσοχή μας σε ελλειπτικές καμπύλες πάνω από πεπερασμένα σώματα όπως το $\mathbb{F}_q$ (Κεφάλαιο 5). Στο τέλος του κεφαλαίου αποδεικνύουμε τις εικασίες του Weil για ελλειπτικές καμπύλες. Στο επόμενο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 6) εξετάζουμε ελλειπτικές καμπύλες στο $\mathbb{C}$ και βλέπουμε την αντιστοιχία τους με το μιγαδικό τόρο δηλαδή τα δικτυωτά στους μιγαδικούς. Τέλος κάνουμε λόγο για ελλειπτικές καμπύλες στο $\mathbb{Q}$ (Κεφάλαιο 7) και την δομή της ομάδας μιας καμπύλης περιορισμένη στο $\mathbb{Q}$.	el
heal.abstract	The scope of this thesis is to present the reader with an overview of Elliptic Curves from a purely theoretical perspective. In this manner we chose to present the basic Algebraic Geometry (Chapter 1-2) and then proceed to study Elliptic Curves as geometric objects (Chapter 3). We then shift to the study of isogenies, that is morphism between Elliptic Curves (Chapter 4). We provide a theoretical and a more concrete/computational aproach to isogenies, highlighting the exact form an isogeny can attain as a rational morphism. We then turn to Elliptic curves over finite fields and specifically over $\mathbb{F}_q$ (Chapter 5). We present the Weil conjectures at the end of the chapter. In Chapter 6 we examine Elliptic curves over $\mathbb{C}$ and note their relation to complex tori, or lattices over the complex plane. In the final chapter (Chapter 7) we talk about Elliptic Curves over $\mathbb{Q}$ and their form as a finitelly generated group over $\mathbb{Q}$.	en
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Παγουρτζής, Άρης	el
heal.committeeMemberName	Κοντογιώρης, Αριστείδης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	47 σ.
heal.fullTextAvailability	true