Συναρτησιακοί πολυωνυμικοί τελεστές και χρήση αυτών στην αναλυτική και αριθμητική μελέτη μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Νικολετάτος-Κεκάτος, Νικόλαος; Nikoletatos-Kekatos, Nikolaos

dc.contributor.author	Νικολετάτος-Κεκάτος, Νικόλαος	el
dc.contributor.author	Nikoletatos-Kekatos, Nikolaos	en
dc.date.accessioned	2019-06-20T10:02:10Z
dc.date.available	2019-06-20T10:02:10Z
dc.date.issued	2019-06-20
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/48868
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.9319
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Γενική Θεωρία Συστημάτων	el
dc.subject	Σειρές Volterra	el
dc.subject	Πολυωνυμικοί Τελεστές	el
dc.subject	Αναπαράσταση/Προσέγγιση μη Γραμμικών Τελεστών	el
dc.subject	Μη Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις	el
dc.subject	System Theory	el
dc.subject	Volterra Series	el
dc.subject	Polynomial Operators	el
dc.subject	Approximation/ Representation of Operators	el
dc.subject	Nonlinear differential equations	el
dc.title	Συναρτησιακοί πολυωνυμικοί τελεστές και χρήση αυτών στην αναλυτική και αριθμητική μελέτη μη-γραμμικών διαφορικών εξισώσεων	el
heal.type	masterThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2019-02-22
heal.abstract	Στη παρούσα εργασία διεξάγεται μια μελέτη επί του θέματος των μη γραμμικών τελεστών όπως αυτοί ανακύπτουν και χρησιμοποιούνται μέσω της Γενική Θεωρία Συστημάτων. Η μελέτη μη γραμμικών συστημάτων ξεκινά το 1887 στο έργο του Ιταλού μαθηματικού Vito Volterra (Volterra, 1930/1955/2005), όπου για πρώτη φορά διαμορφώνεται ένας λογισμός συναρτησιακών απεικονίσεων και δίδονται αναλυτικές εκφράσεις μη γραμμικών συναρτησιακών, ορισμένων στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων, υπό την υπόθεση της διαφορισιμότητας. Στις μέρες μας τα αντικείμενα αυτά καλούνται, συναρτησιακά Volterra, πολυώνυμα Volterra, σειρές Volterra κτλ, και αναφερόμαστε σε παραγώγους Volterra και λογισμό Volterra. O Vito Volterra επέκτεινε τον νέο αυτό λογισμό που δημιούργησε και σε γενικότερες απεικονίσεις (τελεστές) στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων, μελετώντας σε βάθος κάποιες κλάσεις εξ αυτών των τελεστών, τους οποίους στις μέρες μας ονομάζουμε (γραμμικούς και μη γραμμικούς ) τελεστές Volterra. Το έργο του Volterra αποτελεί το σημείο εκκίνησης για την αναζήτηση και μελέτη αναλυτικών αναπαραστάσεων μη γραμμικών τελεστών. Το 1910, ο Maurice Rene Fréchet αποδεικνύει την ύπαρξη αναπα-ραστάσεων στην μορφή του Volterra, για συναρτησιακά ορισμένα στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων, υπό την υπόθεση μόνον της συνέχειας. Ο Fréchet αντιμετωπίζει το ερώτημα στην κατεύθυνση εύρεσης μιας προσεγγιστικής αναπαράστασης, και αυτό που τελικώς διατύπωσε, αποτελεί την πρώτη γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας προσέγγισης, του θεωρήματος προσέγγισης Weierstrass, για συναρτησιακά. Σε αυτή την μελέτη του, με στόχο να επιτύχει το προαναφερθέν αποτέλεσμα, βλ. (Gray, 1984)(1), ήταν αναγκαία η παραγωγή “πολυωνυμικών υναρτησιακών” (αντικείμενα με τα οποία κατασκευάζει την προσέγγιση). Έτσι λοιπόν, ο Frechet, για πρώτη φορά διατυπώνει την έννοια του τελεστικού πολυωνύμου, αποκαλώντας αυτά τα αντικείμενα στις μέρες μας ομογενείς πολυωνυμικούς τελεστές ή, στους κόλπους της θεωρίας συστημάτων, τετραγωνικά, κυβικά, τεταρτοτάξια κτλ, μη γραμμικά συστήματα. Στην αμιγώς μαθηματική, αναλυτική οπτική, ανακύπτει το ερώτημα αυστηρής γενίκευσης αυτών των αντικειμένων και κατασκευών που προαναφέρθηκαν. Η γενίκευση αυτή αποσαφηνίζεσαι μέσω των δύο επιμέρους ερωτημάτων. Πρώτον, «Ποια είναι η θεμελιώδης αλγεβρική/αναλυτική δομή μέσω της οποίας προκύπτουν επαρκείς συνθήκες, οι οποίες διασφαλίζουν την ύπαρξη προσεγγιστικών αναπαραστάσεων της προαναφερθείσας μορφής;» και δεύτερον, «Ποιες είναι οι ελάχιστες υποθέσεις αναλυτικών ιδιοτήτων και δομής των χώρων στους οποίους ορίζονται αυτοί οι τελεστές, ούτως ώστε να έχουμε ύπαρξη αναπαραστάσεων αυτής της μορφής;». Το 1948, ο Marsal Hendry Stone γενικεύει σε μεγάλο βαθμό το θεώρημα προσέγγισης Weierstrass, διατυπώνοντας το Θεώρημα Stone-Weierstrass, επιτρέποντας την μελέτη αναπαραστάσεων συνεχών συναρτησιακών, ορισμένα σε γενικούς μετρικούς χώρους. Περεταίρω γενικεύσεις του θεωρήματος Stone-Weierstrass εμφανίζονται την δεκαετία του εβδομήντα στοχεύοντας σε προσεγγίσεις και/ή αναπαραστάσεις συνεχών τελεστών, ανάμεσα σε γενικούς (abstract ή functional) χώρους, από πολυωνυμικούς τελεστές. Αφιερώνουμε το μεγαλύτερο μέρος του δεύτερου Κεφαλαίου στην μελέτη της αλγεβρικής δομής των πολυωνύμων σε γραμμικούς χώρους, όπου ορίζουμε τα πολυώνυμα μέσω πολυγραμμικών απεικονίσεων και παρουσιάζουμε ιδιότητες που γενικεύουν τις αντίστοιχες των κλασικών (αλγεβρικών) πολυωνύμων, φτάνοντας στην polarization formula. Μέσω της polarization formula δίδουμε ένα κριτήριο το οποίο μας λέει πότε μια απεικόνιση αποτελεί πολυωνυμική απεικόνιση και τελικώς παράγουμε τους ομογενείς πολυωνυμικούς τελεστές (μη γραμμικά πολυωνυμικά συστήματα). Το τελευταίο μέρος του κεφαλαίου, αφιερώνεται στον ορισμό και την βασική μελέτη της συνέχειας των πολυγραμμικών και πολυωνυμικών απεικονίσεων, καθώς επίσης διατυπώνουμε τις εκφράσεις, σε κλειστή μορφή, των αντικειμένων όπου γενικότερα καλούνται συνεχής πολυωνυμικοί τελεστές Volterra. Στο τέλος της δεκαετίας του σαράντα και κατά τις δύο επόμενες δεκαετίες, δημοσιεύτηκε ένας μεγάλος αριθμός άρθρων και διδακτορικών αφιερωμένα στην αναλυτική και μεθοδολογική θεμελίωση της γενικής θεωρίας συστημάτων (π.χ Volterra Series, Weiner Series, Identification). Αυτό συνέβη ταυτόχρονα σε διαφορετικά επιστημονικά πεδία όπως η βιολογία, ηλεκτρολογία, και μηχανική, τόσο στο πλαίσιο της ντετερμινιστικής αλλά και της στοχαστικής θεώρησης. Ένα κύμα ανάπτυξης στη μοντελοποίηση συστημάτων και ανάλυσης σημάτων ξεκίνησε στο M.I.Τ, με αφετηρία το έργο του Norbert Weiner (1958/2013), το οποίο ακολουθήθηκε από τις διδακτορικές διατριβές των Y. W. Lee, (M.B. Brilliant, 1958),(George, 1959), M. Schetzen, και (P. Boyd, 1985). Ακόμα, ο J.F Barret είχε πολύ σημαντική συμβολή στην διερεύνηση των αναλυτικών πτυχών της γενικής θεωρίας συστημάτων, ξεκινώντας με το άρθρο (Barrett, 1957/1963) και συνεχίζοντας με μια σειρά έργων σε μεγάλο τμήμα του φάσματος της θεματολογίας, όπως την ανάλυση σήματος, αναλυτικά συστήματα, διαφορικές εξισώσεις, ευστάθεια και άλλα. Στα πλαίσια αυτών των διαδικασιών, έγινε χρήση άπειρων σειρών Volterra για την αναπαράσταση συστημάτων, ειδικότερα στο πεδίο των εφαρμογών, όμως αναφορικά με το μαθηματικό υπόβαθρο, αυτή η θεώρηση είναι έγκυρη μόνο για αναλυτικά συστήματα (τελεστές). Μια πεπερασμένη σειρά Volterra, η οποία λαμβάνεται μέσω της θεώρησης του θεωρήματος Stone-Weierstrass, μπορεί να θεωρηθεί, μορφολογικά, ως μια αποκομμένη άπειρη σειρά Volterra (truncated series). Παρόλα αυτά, η φύση των ολοκληρωτικών πυρήνων Volterra είναι διαφορετική, με συνέπεια οι ιδιότητες των συστημάτων για τα οποία χρησιμοποιούνται να είναι ουσιωδώς διαφορετικές. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά αποτελέσματα της θεωρίας προσέγγισης, δηλαδή το Θεώρημα προσέγγισης Weierstrass και την πρώτη γενίκευση αυτού, το Θεώρημα Stone-Weierstrass. Χρησιμοποιώντας το τελευταίο, συμπεραίνουμε ότι τα συνεχή συναρτησιακά ορι- σμένα σε συμπαγείς μετρικούς χώρους προσεγγίζονται από συναρτησιακά πολυώνυμα Volterra. Παρόλα αυτά, το ερώτημα προσεγγιστικής αναπαράστασης τελεστών παραμένει. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε επεκτάσεις του Θεωρήματος Stone-Weierstrass για τελεστές, σε χώρους Hilbert και Banach. Έπειτα, χρησιμοποιώντας της φυσικές ιδιότητες της αιτιότητας και την χρονική αμεταβλητότητα, παρουσιάζουμε ένα αποτέλεσμα προσεγγιστικής αναπαράστασης συνεχών αιτιοκρατικών και χρονικά αμετάβλητων τελεστών, στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων, ως εφαρμογή του θεωρήματος Stone-Weierstrass. Στο τελευταίο κεφάλαιο αυτής της εργασίας, ακολουθώντας τα άρθρα (Flake, 1963) και (Barrett, 1957/1963), χρησιμοποιούμε τις σειρές Volterra στην επίλυση εξαναγκασμένων, συνήθων, μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων μιας συγκεκριμένης μορφής. Αναπαριστούμε των επιλύοντα τελεστή της εξίσωσης μέσω μιας πεπερασμένης σειράς Volterra. Εισάγοντας στην εξίσωση της προκύπτουσες εκφράσεις, και χρησιμοποιώντας παρόμοια επιχειρήματα με αυτά που χρησιμοποιούνται στον Λογισμό Μεταβολών και τις ασυμπωτικές τεχνικές, βρίσκουμε ότι κάθε συνάρτηση ολοκληρωτικού πυρήνα επιλύει ένα καλώς τεθειμένο πρόβλημα γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων. Όταν οι συντελεστές της αρχικής συνήθους μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι σταθεροί, τα προβλήματα για τον προσδιορισμό των πυρήνων μπορούν να επιλυθούν με χρήση πολυδιάστατου μετασχηματισμού Laplace σε κλειστή μορφή. Τέλος, παρουσιάζουμε αριθμητικά αποτελέσματα. Υπoλογίζουμε αριθμητικά την λύση που λαμβάνουμε μέσω της σειράς Volterra και κάνουμε συγκρίσεις με την αριθμητική λύση του προβλήματος, μέσω της μεθόδου Runge-Kutta.	el
heal.advisorName	Αθανασούλης, Γεράσιμος Α.	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλης	el
heal.committeeMemberName	Γιαννακάκης, Νικόλαος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	182 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true