Η ειδική περίπτωση Kummer του τελευταίου θεωρήματος του Fermat

Βουλκούδη, Ιωάννα; Voulkoudi, Ioanna

dc.contributor.author	Βουλκούδη, Ιωάννα	el
dc.contributor.author	Voulkoudi, Ioanna	en
dc.date.accessioned	2019-09-06T10:26:15Z
dc.date.available	2019-09-06T10:26:15Z
dc.date.issued	2019-09-06
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/49196
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16601
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Τελευταίο θεώρημα του Fermat	el
dc.subject	Αλγεβρική θεωρία αριθμών	el
dc.subject	Κανονικοί αριθμοί	el
dc.subject	Μοναδική παραγοντοποίηση	el
dc.subject	Fermat's last theorem	en
dc.subject	Regular numbers	en
dc.subject	Kummer's Theorem	en
dc.subject	Θεώρημα Kummer	el
dc.subject	Algebraic number theory	en
dc.subject	Unique factorization	en
dc.title	Η ειδική περίπτωση Kummer του τελευταίου θεωρήματος του Fermat	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Θεωρία αριθμών	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2019-06-25
heal.abstract	The path towards proving Fermat's Last Theorem led to the introduction of Algebraic Numbers and Algebraic Number Theory, as they are known today. We unfold the theory until the critical point of Kummer's contribution to Fermat's Last Theorem. In the first two Chapters 1, 2, we give some basic de finitions of algebraic numbers and algebraic integers and we present the results which helped to produce new algebraic integers out of known ones. The main result is that every number field K can be expressed as K = Q(θ), for some algebraic integer θ. Then, we focus on quadratic and cyclotomic fields. In particular, the cyclotomic fields are related to many results in Number Theory, including the introduction of ideal numbers by Kummer. The important step of unique factorization is introduced in Chapter 3. Namely, in Chapter 3 we discuss an early misunderstanding among mathematicians about the defi nition of prime numbers. Additionally, we explain how the misunderstanding was fixed, when proper defi nitions of primes and irreducible elements in a domain D were provided. Furthermore, Unique Factorization Domains (UFDs) are de fined and examples of UFDs are provided. Chapter 4 explains how the absence of unique factorization in every ring of integers, motivated Kummer to introduce ideal numbers. Later Dedekind, influenced by Kummer, developed the theory of ideals in ring theory. The term Dedekind ring is presented along with the work that led to the proof that factorization is unique in them. The most important result of Dedekind's theory of ideals is theorem 4.6, which states that factorization into irreducibles is unique for elements of a ring of integers, if and only if every ideal is principal. This theorem demonstrates the strong relationship between ideals and unique factorization. Chapter 5 discusses how geometric representation of algebraic numbers provides a result, which can be used as a measure of non-uniqueness of factorization. In Chapter 6 we provide proofs of special cases of FLT for n = 4 and n = 3, as they were given by Fermat and Euler respectively. We also present the Sophie Germain Theorem for infi nitely many prime exponents. Finally, the last Chapter 7 is devoted to Kummer's proof, which has been the main target of this thesis all along.	en
heal.abstract	Η προσπάθεια να αποδειχθεί το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat οδήγησε στην ανάπτυξη της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών, όπως την γνωρίζουμε σήμερα. Θα ακολουθήσουμε την πορεία αυτής της ανάπτυξης, έως το κρίσιμο σημείο της απόδειξης της ειδικής περίπτωσης Kummer. Στα δύο πρώτα Κεφάλαια 1, 2 δίνονται οι ορισμοί των αλγεβρικών αριθμών και των ακέραιων αλγεβρικών και παρουσιάζονται σχετικά αποτελέσματα. Το βασικό αποτέλεσμα του Κεφαλαίου 2 είναι το πόρισμα 2.1, σύμφωνα με το οποίο κάθε σώμα αριθμών μπορεί να γραφεί ως το σώμα των ρητών αριθμών με επισύναψη ενός ακέραιου αλγεβρικού. Έπειτα επικεντρωνόμαστε στα τετραγωνικά και κυκλοτομικά σώματα. Ιδιαίτερα τα τελευταία σχετίζονται με πολλά αποτελέσματα στη Θεωρία Αριθμών, αλλά και με την εισαγωγή των ιδεωδών αριθμών από τον Kummer. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάται η σημαντική ιδιότητα της παραγοντοποίησης και πότε αυτή είναι μοναδική. Δίνονται δύο ορισμοί του πρώτου αρθμού, αναλύεται η παρανόηση των μαθηματικών σχετικά με τους δύο ορισμούς, πώς ανακαλύφθηκε και πώς αντιμετωπίστηκε. Δίνονται έγκυροι ορισμοί του ανάγωγου στοιχείου και του πρώτου σε μία ακέραια περιοχή D. Ορίζονται οι Περιοχές Μοναδικής Αναπαράστασης (UFD) και δίνονται παραδείγματα αυτών. Το Κεφάλαιο 4 περιγράφει πώς η έλλειψη μοναδικής παραγοντοποίησης σε κάθε δακτύλιο ακεραίων κινητοποίησε τον Kummer να δημιουργήσει τους ιδεώδεις αριθμούς. Έπειτα, ο Dedekind επηρεασμένος από τον Kummer, ανέπτυξε τη θεωρία των ιδεωδών στη θεωρία δακτυλίων. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα της θεωρίας των ιδεωδών που ανέπτυξε ο Dedekind είναι το θεώρημα 4.6 σύμφωνα με το οποίο η παραγοντοποίηση των στοιχείων ενός δακτυλίου ακεραίων σε ανάγωγα στοιχεία είναι μοναδική, αν και μόνον αν κάθε ιδεώδες είναι κύριο. Το παραπάνω θεώρημα δείχνει την στενή σχέση μεταξύ των ιδεωδών και της μοναδικής παραγοντοποίησης. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η ομάδα κλάσης και ο αριθμός κλάσης και δίνεται ένα αποτέλεσμα, με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε κατά κάποιο τρόπο τη μη-μοναδικότητα της παραγοντοποίησης. Στο Κεφάλαιο 6 δίνονται οι αποδείξεις των ειδικών περιπτώσεων του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat για τους εκθέτες n=4, n=3, όπως έχουν δοθεί από τον Fermat και τον Euler αντίστοιχα. Ακόμη παρουσιάζεται το Θεώρημα της Sophie Germain. Τέλος, το Κεφάλαιο 7 είναι αφιερωμένο στην απόδειξη του Θεωρήματος του Kummer, η οποία άλλωστε υπήρξε και ο βασικός στόχος αυτής της εργασίας. Για ελληνική βιβλιογραφία, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στην αναφορά [20].	el
heal.advisorName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.advisorName	Κοντογεώργης, Αριστείδης	el
heal.committeeMemberName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	76 σ.
heal.fullTextAvailability	true