dc.contributor.author | Βουλκούδη, Ιωάννα![]() |
el |
dc.contributor.author | Voulkoudi, Ioanna![]() |
en |
dc.date.accessioned | 2019-09-06T10:26:15Z | |
dc.date.available | 2019-09-06T10:26:15Z | |
dc.date.issued | 2019-09-06 | |
dc.identifier.uri | https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/49196 | |
dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.16601 | |
dc.rights | Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα | * |
dc.rights.uri | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/ | * |
dc.subject | Τελευταίο θεώρημα του Fermat | el |
dc.subject | Αλγεβρική θεωρία αριθμών | el |
dc.subject | Κανονικοί αριθμοί | el |
dc.subject | Μοναδική παραγοντοποίηση | el |
dc.subject | Fermat's last theorem | en |
dc.subject | Regular numbers | en |
dc.subject | Kummer's Theorem | en |
dc.subject | Θεώρημα Kummer | el |
dc.subject | Algebraic number theory | en |
dc.subject | Unique factorization | en |
dc.title | Η ειδική περίπτωση Kummer του τελευταίου θεωρήματος του Fermat | el |
heal.type | bachelorThesis | |
heal.classification | Θεωρία αριθμών | el |
heal.language | en | |
heal.access | free | |
heal.recordProvider | ntua | el |
heal.publicationDate | 2019-06-25 | |
heal.abstract | The path towards proving Fermat's Last Theorem led to the introduction of Algebraic Numbers and Algebraic Number Theory, as they are known today. We unfold the theory until the critical point of Kummer's contribution to Fermat's Last Theorem. In the first two Chapters 1, 2, we give some basic de finitions of algebraic numbers and algebraic integers and we present the results which helped to produce new algebraic integers out of known ones. The main result is that every number field K can be expressed as K = Q(θ), for some algebraic integer θ. Then, we focus on quadratic and cyclotomic fields. In particular, the cyclotomic fields are related to many results in Number Theory, including the introduction of ideal numbers by Kummer. The important step of unique factorization is introduced in Chapter 3. Namely, in Chapter 3 we discuss an early misunderstanding among mathematicians about the defi nition of prime numbers. Additionally, we explain how the misunderstanding was fixed, when proper defi nitions of primes and irreducible elements in a domain D were provided. Furthermore, Unique Factorization Domains (UFDs) are de fined and examples of UFDs are provided. Chapter 4 explains how the absence of unique factorization in every ring of integers, motivated Kummer to introduce ideal numbers. Later Dedekind, influenced by Kummer, developed the theory of ideals in ring theory. The term Dedekind ring is presented along with the work that led to the proof that factorization is unique in them. The most important result of Dedekind's theory of ideals is theorem 4.6, which states that factorization into irreducibles is unique for elements of a ring of integers, if and only if every ideal is principal. This theorem demonstrates the strong relationship between ideals and unique factorization. Chapter 5 discusses how geometric representation of algebraic numbers provides a result, which can be used as a measure of non-uniqueness of factorization. In Chapter 6 we provide proofs of special cases of FLT for n = 4 and n = 3, as they were given by Fermat and Euler respectively. We also present the Sophie Germain Theorem for infi nitely many prime exponents. Finally, the last Chapter 7 is devoted to Kummer's proof, which has been the main target of this thesis all along. | en |
heal.abstract | Η προσπάθεια να αποδειχθεί το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat οδήγησε στην ανάπτυξη της Αλγεβρικής Θεωρίας Αριθμών, όπως την γνωρίζουμε σήμερα. Θα ακολουθήσουμε την πορεία αυτής της ανάπτυξης, έως το κρίσιμο σημείο της απόδειξης της ειδικής περίπτωσης Kummer. Στα δύο πρώτα Κεφάλαια 1, 2 δίνονται οι ορισμοί των αλγεβρικών αριθμών και των ακέραιων αλγεβρικών και παρουσιάζονται σχετικά αποτελέσματα. Το βασικό αποτέλεσμα του Κεφαλαίου 2 είναι το πόρισμα 2.1, σύμφωνα με το οποίο κάθε σώμα αριθμών μπορεί να γραφεί ως το σώμα των ρητών αριθμών με επισύναψη ενός ακέραιου αλγεβρικού. Έπειτα επικεντρωνόμαστε στα τετραγωνικά και κυκλοτομικά σώματα. Ιδιαίτερα τα τελευταία σχετίζονται με πολλά αποτελέσματα στη Θεωρία Αριθμών, αλλά και με την εισαγωγή των ιδεωδών αριθμών από τον Kummer. Στο Κεφάλαιο 3, μελετάται η σημαντική ιδιότητα της παραγοντοποίησης και πότε αυτή είναι μοναδική. Δίνονται δύο ορισμοί του πρώτου αρθμού, αναλύεται η παρανόηση των μαθηματικών σχετικά με τους δύο ορισμούς, πώς ανακαλύφθηκε και πώς αντιμετωπίστηκε. Δίνονται έγκυροι ορισμοί του ανάγωγου στοιχείου και του πρώτου σε μία ακέραια περιοχή D. Ορίζονται οι Περιοχές Μοναδικής Αναπαράστασης (UFD) και δίνονται παραδείγματα αυτών. Το Κεφάλαιο 4 περιγράφει πώς η έλλειψη μοναδικής παραγοντοποίησης σε κάθε δακτύλιο ακεραίων κινητοποίησε τον Kummer να δημιουργήσει τους ιδεώδεις αριθμούς. Έπειτα, ο Dedekind επηρεασμένος από τον Kummer, ανέπτυξε τη θεωρία των ιδεωδών στη θεωρία δακτυλίων. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα της θεωρίας των ιδεωδών που ανέπτυξε ο Dedekind είναι το θεώρημα 4.6 σύμφωνα με το οποίο η παραγοντοποίηση των στοιχείων ενός δακτυλίου ακεραίων σε ανάγωγα στοιχεία είναι μοναδική, αν και μόνον αν κάθε ιδεώδες είναι κύριο. Το παραπάνω θεώρημα δείχνει την στενή σχέση μεταξύ των ιδεωδών και της μοναδικής παραγοντοποίησης. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η ομάδα κλάσης και ο αριθμός κλάσης και δίνεται ένα αποτέλεσμα, με το οποίο μπορούμε να μετρήσουμε κατά κάποιο τρόπο τη μη-μοναδικότητα της παραγοντοποίησης. Στο Κεφάλαιο 6 δίνονται οι αποδείξεις των ειδικών περιπτώσεων του Τελευταίου Θεωρήματος του Fermat για τους εκθέτες n=4, n=3, όπως έχουν δοθεί από τον Fermat και τον Euler αντίστοιχα. Ακόμη παρουσιάζεται το Θεώρημα της Sophie Germain. Τέλος, το Κεφάλαιο 7 είναι αφιερωμένο στην απόδειξη του Θεωρήματος του Kummer, η οποία άλλωστε υπήρξε και ο βασικός στόχος αυτής της εργασίας. Για ελληνική βιβλιογραφία, παραπέμπουμε τον αναγνώστη στην αναφορά [20]. | el |
heal.advisorName | Λαμπροπούλου, Σοφία | el |
heal.advisorName | Κοντογεώργης, Αριστείδης | el |
heal.committeeMemberName | Λαμπροπούλου, Σοφία | el |
heal.committeeMemberName | Ψαρράκος, Παναγιώτης | el |
heal.committeeMemberName | Κοντοκώστας, Δημήτριος | el |
heal.academicPublisher | Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών | el |
heal.academicPublisherID | ntua | |
heal.numberOfPages | 76 σ. | |
heal.fullTextAvailability | true |
Οι παρακάτω άδειες σχετίζονται με αυτό το τεκμήριο: