Αντοχή θλιβόμενων στοιχείων υπό αξονική μεταβλητή δύναμη

Abstract

Στην παρούσα εργασία μελετάται η ελαστική ευστάθεια αξονικά θλιβόμενων ράβδων σταθερής διατομής υπό μεταβαλλόμενη κατά μήκος του άξονά των αξονική θλίψη. Αρχικά διατυπώνεται η εξίσωση λυγισμού αμφιαρθρωτών ράβδων υποκείμενων σε συγκεντρωμένο αξονικό θλιπτικό φορτίο στο άκρο τους και επιπλέον ενδιάμεσα φορτία ίδιας τιμής με του άκρου. Εξάγονται αριθμητικά αποτελέσματα για διαφορετικό αριθμό ενδιάμεσων φορτίων, τα οποία είναι ισαπέχοντα, ενώ τα φατνώματα έχουν την ίδια δυσκαμψία. Η περίπτωση αυτή είναι μια αρκετά καλή προσομοίωση για τους φορείς-πλαίσια σύγχρονων εργοστασιακών κτιρίων (π.χ. κτίρια ναυπηγείων). Σε τέτοια πλαίσια σχετικά μεγάλου ύψους, στα οποία λειτουργούν βαριές γερανογέφυρες, τα υποστυλώματα μορφώνονται μέχρι τη στάθμη εδράσεως ως σύνθετα, προκειμένου να εξασφαλιστεί η απαιτούμενη δυσκαμψία. Το εσωτερικό κύριο μέλος έχει σταθερή διατομή, γι’ αυτό στην προσομοίωση τα φατνώματα θεωρήθηκαν ίδιας δυσκαμψίας. Το κατακόρυφο φορτίο της γερανογέφυρας προσομοιώνεται με το φορτίο που ασκείται στο άκρο του μέλους. Η πρόσθετη, αυξανόμενη κατά βήματα προς τη βάση του υποστυλώματος, αξονική θλιπτική δύναμη που προέρχεται από τα συνυπάρχοντα οριζόντια φορτία (πλευρική ώθηση γερανογέφυρας, ανεμοπίεση), είναι κατ’ αντιστοιχία τα ενδιάμεσα θλιπτικά φορτία. Το μέλος αυτό για περίπτωση λυγισμού εκτός του επιπέδου του πλαισίου (περί τον ισχυρό άξονα αδράνειας της διατομής) μπορεί να θεωρηθεί (σε συνδυασμό με τη διαμόρφωση της λεπτομέρειας έδρασής του) ως αμφιαρθρωτό στοιχείο. Οι παραδοχές που έγιναν χάριν απλοποίησης είναι η ισότητα μεταξύ των ασκούμενων φορτίων, καθώς και τα ισαπέχοντα διαστήματα μεταξύ των φορτίων. Με αφορμή λοιπόν την περίπτωση αυτή, μελετάται η περίπτωση αμφιαρθρωτού υποστυλώματος με σταθερή διατομή και πραγματοποιείται η εύρεση του κρίσιμου φορτίου λυγισμού για ένα έως τρία ισαπέχοντα θλιπτικά φορτία. Στη συνέχεια πραγματοποιείται η λύση για περισσότερα ισαπέχοντα θλιπτικά φορτία. Λόγω του μεγάλου πλήθους αγνώστων-εξισώσεων και της πινακοποίησης του προβλήματος, η διαδικασία αυτή πραγματοποιήθηκε σε ηλεκτρονικό υπολογιστή με τη βοήθεια μαθηματικού προγράμματος, το οποίο αναλύεται στην εργασία. Αριθμητικά αποτελέσματα εξάγονται για μέχρι και οκτώ ίσα και ισαπέχοντα μεταξύ τους θλιπτικά φορτία. Στην εργασία χρησιμοποιήθηκε η (γραμμική) διαφορική εξίσωση λυγισμού τετάρτης τάξης, η οποία προκύπτει από τη θεώρηση στο στοιχειώδες τμήμα dx του φορέα. Είναι λοιπόν ανεξάρτητη των συνοριακών συνθηκών. Ακολούθως, λαμβάνονται οι εκάστοτε κινηματικές (γεωμετρικές) και φυσικές (που αφορούν τα εντατικά μεγέθη) συνοριακές συνθήκες, οι οποίες μεταφράζονται μαθηματικά σε ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους. Από αυτές προκύπτει μετά από επεξεργασία ένας πίνακας, του οποίου η ορίζουσα (ορίζουσα ευστάθειας) πρέπει να ισούται με μηδέν προκειμένου το σύστημα να έχει μη τετριμμένη (δηλαδή μη μηδενική) λύση. Από το μηδενισμό της ορίζουσας ευστάθειας προκύπτει η εξίσωση λυγισμού, από τη λύση της οποίας λαμβάνεται το κρίσιμο φορτίο λυγισμού. Εν συνεχεία εξάγονται και τα ισοδύναμα μήκη λυγισμού, δηλαδή το μήκος που θα απαιτείτο για να λυγίσει μια αμφιέρειστη ράβδος θλιβόμενη ολόκληρη από κρίσιμο φορτίο λυγισμού το οποίο ασκείται στο άκρο της. Στο τέλος της εργασίας επιχειρείται να δοθεί μια προσεγγιστική λύση με τη θεώρηση συνεχούς φορτίου, μεταβαλλόμενου κατά μήκος της ράβδου. Με τη θεώρηση αυτή αλλάζει η διαφορική εξίσωση λυγισμού τετάρτης τάξης από σταθερών συντελεστών σε μη σταθερούς. Η επίλυση της εξίσωσης αυτής είναι πολύπλοκη, και για το λόγο αυτό επιχειρούνται κάποιες προσεγγίσεις. Το αποτέλεσμα είναι απλούστερο στη συνέχεια καθώς ο αριθμός των συνοριακών συνθηκών είναι μικρότερος. Στόχος είναι να βρεθεί μια ικανοποιητική προσέγγιση κατά τη θεώρηση του ασκούμενου φορτίου, η οποία δηλαδή θα δίνει αποτελέσματα για το κρίσιμο φορτίο με ανεκτή απόκλιση από τις ακριβείς τιμές.

This thesis examines the elastic stability of axially compressed rods of constant cross section under a changing along their axis axial force. First, the buckling equation of pinned rods, subject to a concentrated axial compressive load at the tip and additional intermediate loads of equal value with the edge’s, is formulated. Numerical results are extracted for a different number of intermediate loads, which are equally spaced, while the panels have the same stiffness. This can be considered as a simulation of frameworks in modern factory buildings (i.e. shipyards). In these types of frameworks, with heavy cranes, the columns are formed as composite, until the level of support, in order to achieve the required stiffness. The inner main member is of a constant cross section, so in the simulation the panels were assumed to have the same stiffness. The load of the crane is simulated by the load at the tip of the member. The additional, increasing in steps to the base of the column, axial compressive force from the co-existing horizontal loads (lateral momentum from the crane, wind) is, correspondingly, simulated by the intermediate compressive loads. This member, for the case of buckling outside the plane of the frame (on the strong axis of inertia of the cross section), can be considered a pinned member (given the design of the supports). The assumptions made for the simplification of the calculations are the equality of the loads and the equally spaced intervals between the loads. With this example in mind, the case of a pinned column of constant cross section is studied, and the critical buckling load for one to three equally spaced compressive loads is found. Then the solution is found for a greater number of compressive loads. Due to the large number of unknowns-equations and the easy tabulation of the problem, this process took place on the computer using a mathematical program that is analyzed later in the thesis. Numerical results are presented for up to eight equal and equally spaced compressive loads. In this thesis, the (linear) fourth order buckling differential equation is used, which derives from the analysis of the elementary part dx of the member. It is therefore independent of boundary conditions. Afterwards, the respective kinematic (geometrical) and physical conditions are examined. These are mathematically translated into a system of n equations with n unknowns. These equations are then processed into a matrix whose determinant (the determinant of stability) should be equal to zero in order for the system to have a nontrivial (a non-zero) solution. From this equation the buckling equation is derived, and from its solution the critical buckling load is calculated. Then, the equivalent buckling lengths are calculated. This is the length required for a pinned column to buckle, when compressed entirely with the critical buckling load applied at its tip. In the end, an attempt is made to present an approximate solution with the consideration of a continuous axial load whose value varies along the rod. This approach alters the fourth order buckling differential equation from one with constant coefficients to another with variable coefficients. The solution of this differential equation is complicated and therefore several approximations are attempted. The result is simpler in the end, since the number of boundary conditions is significantly smaller. The goal is to find a satisfactory approximation when considering the applied load, an approach that will provide results for the critical load within an acceptable deviation from the exact values.