Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων με την χρήση της μεθόδου Ισογεωμετρικής Ανάλυσης

Abstract

Η παρούσα εργασία έχει ως στόχο να εξετάσει το θέμα της ισογεωμετρικής ανάλυσης.Η ισογεωμετρική ανάλυση είναι μια πρόσφατη υπολογιστική προσέγγιση που προσφέρει την δυνατότητα της "ενσωμάτωσης" της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων με εργαλεία που προσφέρει το CAD(σχεδιασμός υποβοηθούμενος από υπολογιστή) Το κεφάλαιο 1 ξεκινάει με τον ορισμό των συναρτήσεων Β-spline, απο τις οποίες κατασκευάζονται οι συναρτήσεις NURBS.Παρουσιάζεται μια αναλυτική περιγραφή των γεωμετρικών ιδοτήτων τους μαζί με κάποια παραδείγματα. Στην συνέχεια ορίζουμε τις συναρτήσεις ΝURBS και εξηγούμε την σύνδεση τους με τις Β-spline.Τέλος παρουσίαζονται οι κλασικές στρατηγικές εκλέπτυνσης η h και p , ενώ εξηγείται και η καινούργια k εκλέπτυνση. Στο κεφάλαιο 2 εξετάζεται η χρήση του CAD σε πλαίσια ανάλυσης.Ξεκινάει με την μελέτη ενός κλασικού προβλήματος συνοριακών τιμών Poisson, το οποίο και λύνεται με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων του Galerkin .Ακολούθως παρουσιάζεται η ισοπαραμετρική προσέγγιση για να διαλευκανθούν οι ομοιότητες και οι διαφορές ανάμεσα στα κλασικά πεπερασμένα στοιχεία, όπως τα πολυώνυμα, με τα πεπερασμένα στοιχεία που βασίζονται σε συναρτήσεις NURBS.Τέλος, παρουσιάζονται εκτημήτριες σφάλματος κατά την h στρατηγική εκλέπτυνσης.

Το τελευταίο κεφάλαιο, εξηγεί τις δομές δεδομένων του GeoPDEs , ένα περιβάλλον συμβατό με MATLAB που αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο της Πάβια και το πολυτεχνείο του Μιλάνο, για να δοκιμαστεί η ισογεωμετρική προσέγγιση στην επίλυση ελλειπτικών προβλημάτων 2 διαστάσεων .Τα αποτελέσματα εξετάζουν κυρίως τις στρατηγικές εκλέπτυνσης .

This thesis aims to examine the subject of Isogeometric analysis . Isogeometric analysis (IGA for short) is a recently developed computational approach that offers the possibility of integrating finite element analysis (FEA) into conventional NURBS(Non Rational uniform Basic Splines) based CAD design tools. Chapter 1 starts with the definition of B-Splines , from which NURBS are built. An analytic description of their geometrical properties along with some examples are given . Next , we give the definition of NURBS and explain their relation with B-Splines. Finally , classic h and p refinement strategies are presented as well as the new k refinement is explained . Chapter 2 explains how CAD can be used within an analysis framework. It starts by imposing a classic Poisson boundary value problem , which is then solved using the Galerkin finite element method . The isoparametric approach is then presented in order to clearly highlight the differences and similarities between classic finite elements, such as piecewise polynomials, and NURBS based finite elements. Finally we present error estimates during h refinement. The final chapter, Chapter 3, explains the data structures of GEOpdes , a MATLAB compatible environment developed at IMATI, Università di Pavia and Politecnico di Milano, for testing the isogeometric approach in the context of NURBS-based finite element analysis. Some numerical examples on 2D elliptical problems are presented in order to obtain results mainly concerning refinement strategies.