Εύρεση & Μελέτη Ομοκλινικών Τροχιών στην Εξίσωση FitzHugh-Nagumo & Εφαρμογή στη Φυσιολογία των Νευρώνων

Παπαδόπουλος, Κωνσταντίνος; Papadopoulos, Konstantinos

dc.contributor.author	Παπαδόπουλος, Κωνσταντίνος	el
dc.contributor.author	Papadopoulos, Konstantinos	en
dc.date.accessioned	2019-12-23T09:25:05Z
dc.date.available	2019-12-23T09:25:05Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/49630
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.17328
dc.description	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο--Μεταπτυχιακή Εργασία. Διεπιστημονικό-Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Δ.Π.Μ.Σ.) “Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες”	el
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Oμοκλινικές τροχιές	el
dc.subject	Homoclinic orbits	en
dc.subject	Εξίσωση FitzHugh-Nagumo	el
dc.subject	FitzHugh-Nagumo equation	en
dc.subject	Ομοκλινικές διακλαδώσεις	el
dc.subject	Homoclinic bifurcations	en
dc.subject	Ιδιόμορφη γεωμετρική θεωρία διαταραχών	el
dc.subject	Singular geometric perturbation theory	en
dc.subject	Νευρώνες	el
dc.subject	Neurons	en
dc.title	Εύρεση & Μελέτη Ομοκλινικών Τροχιών στην Εξίσωση FitzHugh-Nagumo & Εφαρμογή στη Φυσιολογία των Νευρώνων	el
heal.type	masterThesis
heal.classification	Εφαρμοσμένα Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2019-05-16
heal.abstract	Η εξίσωση FitzHugh-Nagumo (FN), αποτελεί ένα από τα πλέον χαρακτηριστικότερα παραδείγματα που ανήκουν στην οικογένεια των διεγέρσιμων δυναμικών συστημάτων με την επιπλέον ιδιότητα του διαχωρισμού χρονικών κλιμάκων. Η σπουδαιότητα και η χρησιμότητά της δεν έγκειται μονάχα στο γεγονός πως βρίσκει ευθεία εφαρμογή στο χώρο της μαθηματικής Βιολογιάς, από τον οποίο φυσικά και προήλθε, αλλά η μελέτη τής παρουσιάζει καθαρά μαθηματικό ενδιαφέρον συνδυάζοντας σημαντικά συμπεράσματα από διάφορους κλάδους των Μαθηματικών όπως Ανάλυση, θεωρία Δυναμικών Συστημάτων και υπολογιστικές μεθόδους, ανοίγοντας συνεχώς νέους δρόμους για έρευνα. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα ασχοληθούμε με τη μελέτη και την εύρεση κυματικών λύσεων της εξίσωσης FN οι οποίες αντιστοιχούν σε ομοκλινικές τροχιές στο χώρο φάσεων. Συγκεκριμένα, αφού διατυπώσουμε στο πρώτο κεφάλαιο τη φυσική ερμηνεία της εξίσωσης FN κάνοντας κάποιους ποιοτικούς σχολιασμούς για τη δομή της ομοκλινικής τροχιάς, θα μελετήσουμε στο δεύτερο, τις κυματικές λύσεις που προκύπτουν από την εξίσωση FN στην καθαρά ιδιόμορφη περίπτωση και θα κατασκευάσουμε μία ομοκλινική τροχιά μελετώντας την εξίσωση σε δύο διαφορετικές χρονικές κλίμακες. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο τρία, θα διατυπώσουμε όλα εκείνα τα στοιχεία που προκύπτουν από τη γεωμετρική θεωρία των ιδιόμορφων διαταραχών και χρησιμοποιώντας τα συμπεράσματα του Fenichel, θα είμαστε βέβαιοι πως μία, μη ιδιόμορφη αυτήν τη φορά, ομοκλινική τροχιά υπάρχει πολύ κοντά στην αντίστοιχη ιδιόμορφη. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο, με τη βοήθεια του MATCONT υπολογίζουμε αριθμητικώς την ύπαρξη και τη μορφή των ομοκλινικών διακλαδώσεων της εξίσωσης FN στη μη ιδιόμορφη περίπτωση και αλγεβρικώς στην ιδιόμορφη. Ακόμα, κάποια θεωρητικά συμπεράσματα αναφέρονται στο τέλος του κεφαλαίου.	el
heal.abstract	The FitzHugh-Nagumo (FN) equation is one of the most descriptive examples of a family of excitable dynamical systems with the extra property of different time scale propagation. Its importance and usefulness lies not only in the fact that it finds a direct application in the field of mathematical Biology, of which it came, but its study has purely mathematical interest, combining important issues from various disciplines of Mathematics such as Analysis, Dynamical Systems Theory and computational methods, continuously opening new paths for research. In this diploma thesis we will deal with the study of wave solutions of the FN equation corresponding to homoclinic orbits in phase space. Specifically, after the formulation of the physical interpretation of the FN equation in the first chapter, we study in the second chapter, the wave solutions resulting from the FN equation in the purely singular case and construct a homoclinic orbit by studying the equation at two different time scales. Then, in chapter three, we will formulate all those elements that result from the geometric singular perturbation theory and using Fenichel's theorems, we will be certain that a non-singular homoclinic orbit is very close to the singular one. Finally, in the fourth chapter using MATCONT, we study numerically the homoclinic bifurcation diagram of the FN equation in the non-singular case and algebraically in the singular case. Furthermore, some theoretical conclusions are mentioned at the end of the chapter.	en
heal.advisorName	Ρόθος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Παπανικολάου, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Σταυρακάκης, Νικόλαος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	74 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true