Θεωρία συνεχών κλασμάτων και εφαρμογές

Abstract

Στην εργασία αυτή αρχικά στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία της θεωρίας συνεχών κλασμάτων, που αποτελεί κομμάτι και εργαλείο της θεωρίας αριθμών. Τα συνεχή κλάσματα αναπτύχθηκαν (ή ανακαλύφθηκαν) εν μέρει ως απάντηση μιας ανάγκης να προσεγγιστούν οι άρρητοι αριθμοί. Από τότε έχουν διακριθεί ως σημαντικά εργαλεία για προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων, την ανάλυση, την κρυπτογραφία και ειδικά τη θεωρία αριθμών. Στη συνέχεια, στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η μέθοδος κρυπτογράφησης RSA ώστε στο τρίτο κεφάλαιο να κατανοηθεί καλύτερα ο αλγόριθμος του Wiener, που είναι ένας αλγόριθμος παραγοντοποίησης ακεραίων που στοχεύει στην αποκρυπτογράφηση μηνυμάτων RSA και χρησιμοποιεί την θεωρία συνεχών κλασμάτων. Τέλος, στο ίδιο κεφάλαιο περιγράφεται και ένας άλλος ενδιαφέρον αλγόριθμος παραγοντοποίησης άμεσα συνδεδεμένος με τα συνεχή κλάσματα.

Initially, in the first chapter of this essay are represented the principal parts of continued fraction theory, which is piece and tool of number theory. Continued fractions were developed (or discovered) as a response to a need to approximate irrational numbers. Since then they have distinguished themselves as important tools for solving problems in probability theory, analysis, cryptography and especially number theory. Then, in the second chapter is represented the RSA encryption in order that in the third chapter is comprehended better the Wiener algorithm, which is an algorithm of factorization that aims in decoding RSA messages and uses continued fraction theory. Finally, in the same chapter is described another interesting factorization algorithm directly connected with continued fracions.