Διαχωρισμοί Heegaard & Χειρουργική Dehn σε 3-πολλαπλότητες

Λύγδας, Ορέστης; Lygdas, Orestis

dc.contributor.author	Λύγδας, Ορέστης	el
dc.contributor.author	Lygdas, Orestis	en
dc.date.accessioned	2020-04-02T09:10:58Z
dc.date.available	2020-04-02T09:10:58Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/50031
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.17729
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Διαχωρισμοί Heegaard	el
dc.subject	Χειρουργική Dehn	el
dc.subject	Θεωρία κόμπων	el
dc.subject	Θεώρημα Dehn-Lickorish	el
dc.subject	Ρητή χειρουργική	el
dc.subject	Heegaard splittings	en
dc.subject	Dehn surgery	en
dc.subject	Knot theory	en
dc.subject	Dehn-Lickorish theorem	en
dc.subject	Rational surgery	en
dc.title	Διαχωρισμοί Heegaard & Χειρουργική Dehn σε 3-πολλαπλότητες	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γεωμετρική Τοπολογία	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2019-06-26
heal.abstract	Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι να παρουσιάσει βασικές έννοιες και βασικά αποτελέσματα της Γεωμετρικής Τοπολογίας. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στους κόμπους και τους κρίκους. Εκτός από τον ορισμό τους, αναφέρουμε μια πράξη με την οποία από ήδη δοσμένους κόμπους "παίρνουμε" καινούργιους, το συνεκτικό άθροισμα. Έπειτα, από το θεώρημα Reidemeister που διατυπώνουμε κι αποδεικνύουμε στη συνέχεια έχουμε έναν τρόπο να γνωρίζουμε πότε δύο κόμποι είναι ισοδύναμοι από τα επίπεδα διαγράμματά τους. Τέλος, βασικό κομμάτι της Θεωρίας Κόμπων είναι η μελέτη αναλλοίωτων που βοηθούν στην ταξινόμηση των κόμπων. Εμείς μελετούμε μια απλή σχετικά αναλλοίωτη προσανατολισμένων κρίκων, το πολυώνυμο Kauffman. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετούμε τρόπους περιγραφής των 3-πολλαπλοτήτων. Κατ' αρχάς μελετάμε τους διαχωρισμούς Heegaard. Ουσιαστικά σε αυτό το σημείο αποδεικνύουμε ότι κάθε προσανατολίσιμη συμπαγής και συνεκτικής 3-πολλαπλότητα είναι αποτέλεσμα συγκόλλησης δύο ομοιομορφικών σωμάτων-χερούλι πάνω στο σύνορό τους. Έπειτα δίνουμε ένα βασικό παράδειγμα διαχωρισμού Heegaard της S^3 σε δύο συμπαγείς τόρους. Στο τέλος του κεφαλαίου δίνουμε έναν πρακτικό τρόπο περιγραφής ομοιομορφισμών μεταξύ δύο σφαιρών με g χερούλια, τα διαγράμματα Heegaard, που ουσιαστικά περιγράφουν διαχωρισμούς Heegaard. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο δίνουμε έναν δεύτερο τρόπο περιγραφής 3-πολλαπλοτήτων, τη χειρουργική Dehn. Αφού διατυπώσουμε και αποδείξουμε το θεώρημα Dehn -Lickorish, μελετούμε κάποια βασικά πορίσματά του. Τέλος, καταλήγουμε στον ορισμό της ρητής χειρουργικής κατά μήκος τετριμμένων κόμπων και παρουσιάζουμε κάποια ενδιαφέροντα, βασικά αποτελέσματά της.	el
heal.abstract	The purpose of this diploma thesis is to present some elementary notions and results from Geometric Topology. In the first chapter we discuss knots and links. Apart from their definition, which is not at all trivial, we mention the basic operation that gives us a new knot from two old ones, the connected sum. Also, we prefer to present the knots through their plane projections, so we need to know under which circumstances two given projections represent the "same" knot (we will specify what this means when we define knots rigorously). These circumstances are stated in the following Reidemeister theorem. In the final section of this chapter, we present a relatively simple, but useful, invariant of knots called the Kauffman polynomial. Invariants are objects that help us distinguish some knots from each other, meaning that they help us classify knots, which is an important open problem of Knot Theory. In the second chapter, we discuss a different notion from Geometric Topology, the 3manifolds. First we define these objects and then we try to find general methods to describe them. One of these methods is the Heegaard splitting of a 3manifold. At this point, we conclude that a large category of 3manifolds can be described with gluings of simpler 3manifolds with boundary, called handlebodies. After that, we provide a basic example of a Heegaard splitting of the 3sphere, S3. The chapter ends with the presentation of an "alternative" to the Heegaard splittings called Heegaard diagrams. In the third and final chapter, we present a second method of describing 3manifolds, called Dehn surgery. There is a basic com9 mon characteristic between these two methods which is the fact that they both can be reduced to the study of homeomorphisms between surfaces (2manifolds). The majority of this chapter consists of statements of theorems (some of which are proved) which describe the Dehn surgery operation and show us that a large category of 3manifolds can be obtained through it. Finally, we give some examples of this quite elegant operation.	en
heal.advisorName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Λαμπροπούλου, Σοφία	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	89 σ.	el
heal.fullTextAvailability	true