Υπολογιστική ανάλυση διαβροχής στερεών επιφανειών από σταγόνες

Abstract

Στην εργασία αυτή γίνεται υπολογιστική επίλυση προβλημάτων διαβροχής στερεών επιφανειών από αξονοσυμμετρικές σταγόνες. Οι εξισώσεις που διέπουν την διαβροχή των στερεών από ρευστά συνθέτουν μη-γραμμικά, πολλές φορές και ελεύθερου συνόρου προβλήματα. Η βασική εξίσωση που χρησιμοποιείται σε όλα τα προβλήματα που επιλύονται είναι η διαφορική εξίσωση Young-Laplace της μηχανικής ισορροπίας της σταγόνας. Για την προσεγγιστική επίλυση των εξισώσεων επιλέγεται η μέθοδος Galerkin/πεπερασμένων στοιχείων σε συνδυασμό με την επαναληπτική μέθοδο Newton-Raphson. Οι υπολογισμοί εκτελούνται με τρεις διαφορετικούς τρόπους παραμετροποίησης της γεωμετρίας του προβλήματος – κυλινδρική παραμετροποίηση, σφαιρική παραμετροποίηση και μήκους-τόξου παραμετροποίηση. Η διαφορά μεταξύ των παραμετροποιήσεων έγκειται στο σύστημα συντεταγμένων και στις ανεξάρτητες μεταβλητές που χρησιμοποιούνται. Ακόμα, γίνεται χρήση πολλών μορφών στερεών επιφανειών όπως οριζόντιο επίπεδο, επίπεδο υπό κλίση, τραχύ επίπεδο, καθώς επίσης και επίπεδο που περιλαμβάνει ένα μικροστύλο (micro-pillar). Τα αποτελέσματα περιλαμβάνουν διαμορφώσεις της διεπιφάνειας της σταγόνας όπως διαβρέχει τις στερεές επιφάνειες και διαγράμματα παραμετρικής ανάλυσης με βηματισμό μήκους-τόξου για την διέλευση από ιδιάζοντα σημεία (όπως σημεία στροφής) σε κλάδους λύσεων. Ακόμα, γίνεται σύγκριση του ρυθμού σύγκλισης προς την ακριβή λύση, καθώς πυκνώνει το πλέγμα διακριτοποίησης, για τις διάφορες παραμετροποιήσεις και αναδεικνύεται η υπολογιστικά αποδοτικότερη παραμετροποίηση, που είναι η σφαιρική. Τέλος πραγματοποιείται ανάλυση ευστάθειας των λύσεων, στην παραμετροποίηση μήκος-τόξου, χρησιμοποιώντας ενεργειακή προσέγγιση και εντοπίζονται ασταθείς λύσεις. Στο τελευταίο κεφάλαιο γίνεται μια ανασκόπηση της τρέχουσας έρευνας σχετικά με την τροποποίηση της εξίσωσης Young-Laplace, με την επιφανειακή τάση να είναι μεταβαλλόμενο μέγεθος.

Τhis thesis deals with solving computational problems of wetting of solid surfaces by axisymmetric droplets. The equations governing the wetting of solid surfaces from liquids compose non-linear, often free boundary problems. The basic equation used in all the problems solved is the differential equation of Young-Laplace of drop mechanical equilibrium. The method of Galerkin/finite elements has been chosen for the approximate solution of the equations combined with the Newton-Raphson iteration. The calculations are performed with three different geometry parametrizations - cylindrical, spherical and arc-length parametrization - the difference between them being in the choice of the coordinate system and the independent variables. Furthermore, many types of solid surfaces have been used, such as horizontal, inclined, rough and surface with a micro-pillar. The results include the shape of the free surface of the droplet as it wets solid surfaces and parametric analysis employing the arc-length continuation method to circumvent turning point singularities on solution branches. Furthermore, after comparing the rate of convergence to the exact solution of the different parametrizations, against mesh refinement, we conclude that the spherical parametrization is the most cost effective one. Finally we examine the stability of the computed solutions using the energy approach and we locate unstable ones. The last chapter is an overview of the current research in modifying Young-Laplace equation. In the modified equation, the surface tension is no longer treated as a constant quantity.