Συναρτήσεις πινάκων και εφαρμογές τους

Παπαβασιλείου, Ιωάννης; Papavasiliou, Ioannis

dc.contributor.author	Παπαβασιλείου, Ιωάννης	el
dc.contributor.author	Papavasiliou, Ioannis	en
dc.date.accessioned	2020-10-02T11:21:56Z
dc.date.available	2020-10-02T11:21:56Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/51253
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.18951
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Πίνακες συναρτήσεις πολυώνυμα επιλύουσα φάσμα	el
dc.subject	Matrices functions polynomials resolvent spectrum	en
dc.title	Συναρτήσεις πινάκων και εφαρμογές τους	el
dc.title	Functions of matrices and applications	en
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-06-26
heal.abstract	Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας, είναι η παρουσίαση της θεωρίας των συναρτήσεων πινάκων, με μια κομψή και συνοπτική μεθοδολογία. Υπάρχουν αρκετοί ισοδύναμοι τρόποι για τον ορισμό μιας συνάρτησης πίνακα f(A). Εμείς εστιάζουμε τη μελέτη μας σε τρεις συγκεκριμένους, οι οποίοι είναι ιδιαίτερου ενδιαφέροντος. Στην ανάλυσή μας, δίνουμε έμφαση στον σαφή ορισμό τους, αλλά και στις ιδιότητες που απορρέουν από τον καθένα. Επίσης, ασχολούμαστε και με πεδία, στα οποία η εφαρμογή των αποτελεσμάτων που θα αναπτύξουμε για τις συναρτήσεις πινάκων, είναι εξαιρετικά χρήσιμη και ταυτόχρονα, συμβάλλει στην δημιουργία νέων ιδεών. Συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο καταγράφουμε μερικά εισαγωγικά στοιχεία από την ανάλυση πινάκων και τη γραμμική άλγεβρα, τα οποία είναι απαραίτητα για την στέρεη θεμελίωση των εννοιών που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια. Στο δεύτερο κεφάλαιο, καθορίζουμε τις συνθήκες, για τις οποίες μια συνάρτηση ορίζεται στο φάσμα ενός πίνακα και παρατηρούμε μερικές σημαντικές ιδιότητες των πολυώνυμων παρεμβολής. Συνδυάζοντας τα αποτελέσματα αυτών των δύο παραγράφων, ορίζουμε μια συνάρτηση πίνακα μέσω πολυωνύμων παρεμβολής, κάνοντας χρήση του τύπου f(A) = p(A). Προχωρώντας στο τρίτο κεφάλαιο, αποδεικνύουμε δύο θεωρήματα που αφορούν, τον ορισμό μιας συνάρτησης στο φάσμα ενός διαγώνιου υποπίνακα και την διατήρηση των ιδιοτήτων ομοιότητας για τις συναρτήσεις δύο όμοιων πινάκων, αντίστοιχα. Λαμβάνοντας υπόψη αυτά τα δύο θεωρήματα, αλλά και την κανονική μορφή Jordan, επισημαίνουμε ένα τρίτο σχετικό θεώρημα, με το οποίο μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση πίνακα, μέσω της κανονικής μορφής Jordan, . Στα επόμενα κεφάλαια, πραγματοποιούμε μια διάσπαση του πίνακα f(A), ώστε να αποκτήσουμε μια χρήσιμη και σαφή αναπαράστασή του σε θεμελιώδεις όρους του ίδιου του A. Συγκεκριμένα, εισάγουμε στην ανάλυσή μας τους πίνακες-συντελεστές, οι οποίοι αποτελούν ένα εξαιρετικό εργαλείο, καθώς συντελούν στον υπολογισμό μιας συνάρτησης πίνακα. Επιπρόσθετα, ορίζουμε την επιλύουσα ενός πίνακα, Rλ , η οποία αποτελεί μια συνάρτηση που ορίζεται πάνω στο φάσμα του A και μας επιτρέπει να εφαρμόζουμε αποτελέσματα της μιγαδικής ανάλυσης στη θεωρία πινάκων. Ταυτόχρονα, παρατηρούμε μερικές ακόμη ιδιότητες των συναρτήσεων πινάκων, μέσω της παρουσίασης ενός αριθμού κατάλληλων εφαρμογών. Ο τελευταίος τρόπος ορισμού μιας συνάρτησης πίνακα, παρουσιάζεται στο έβδομο κεφάλαιο. Ειδικότερα, χρησιμοποιούμε το θεώρημα Cauchy για μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής πάνω σε ένα περίγραμμα L και αναλυτική στο εσωτερικό του και για έναν πίνακα, του οποίου οι διακεκριμένες ιδιοτιμές βρίσκονται στο εσωτερικό του L. Ολοκληρώνουμε την ανάλυσή μας με το έννατο κεφάλαιο και την αναφορά μας στο πεδίο των παρατηρήσιμων και ελέγξιμων συστημάτων, στο οποίο η χρήση των συναρτήσεων πινάκων, μας επιτρέπει να παρουσιάσουμε μερικές ενδιαφέρουσες ιδέες και αποτελέσματα από την θεωρία συστημάτων ελέγχου.	el
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Κανελλόπουλος, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	75 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false