Τυχαιοποιημένες μέθοδοι προσέγγισης πολλαπλασιασμού πινάκων και παραγοντοποίησης ιδιαζουσών τιμών

Θεοχάρη, Αικατερίνη; Theochari, Aikaterini

dc.contributor.author	Θεοχάρη, Αικατερίνη	el
dc.contributor.author	Theochari, Aikaterini	en
dc.date.accessioned	2020-10-21T12:07:54Z
dc.date.available	2020-10-21T12:07:54Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/51555
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.19253
dc.rights	Default License
dc.subject	Αλγόριθμοι	el
dc.subject	Τυχαιοποιημένες μέθοδοι	el
dc.subject	Πίνακες	el
dc.subject	Πιθανότητες	el
dc.subject	Monte carlo	en
dc.subject	Algorithms	en
dc.subject	Randomized methods	en
dc.subject	Matrices	en
dc.subject	Probabilities	en
dc.title	Τυχαιοποιημένες μέθοδοι προσέγγισης πολλαπλασιασμού πινάκων και παραγοντοποίησης ιδιαζουσών τιμών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-06-30
heal.abstract	Η συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας έγινε στα πλαίσια του Προπτυχιακού Προγράμματος της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Σε πολλές εφαρμογές τα δεδομένα αναπαρίστανται με τη μορφή πολύ μεγάλων πινάκων. Η διαχείριση αυτού του όγκου των δεδομένων είναι απαγορευτική. Σκοπός της συγκεκριμένης διπλωματικής είναι η μελέτη και η εφαρμογή κάποιων αλγορίθμων που χρησιμοποιούν τη μέθοδο Monte Carlo για τη δημιουργία πολύ μικρότερων πινάκων πετυχαίνοντας πολύ καλές προσεγγίσεις του αρχικού προβλήματος και μικρό σφάλμα. Οι αλγόριθμοι αυτοί έχουν εφαρμογή σε πολλά προβλήματα της γραμμικής άλγεβρας και κάνουν πιο αποδοτική τη χρήση υπολογιστικών πόρων όπως ο χρόνος υπολογισμού , η μνήμη RAM και ο αριθμός περασμάτων πάνω από τα δεδομένα σε σχέση με άλλους αλγορίθμους Oι μέθοδοι Monte Carlo είναι μια ευρεία κατηγορία υπολογιστικών αλγορίθμων που βασίζονται σε επαναλαμβανόμενη τυχαία δειγματοληψία για την επίτευξη αριθμητικών αποτελεσμάτων. Η λογική είναι ότι χρησιμοποιούν τυχαία στοιχεία για την επίλυση διάφορων προβλημάτων. Συχνά χρησιμοποιούνται σε φυσικά και μαθηματικά προβλήματα και είναι πολύ χρήσιμες όταν είναι δύσκολο ή αδύνατο να χρησιμοποιηθούν άλλες προσεγγίσεις. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε βασικούς ορισμούς και έννοιες της Γραμμικής Άλγεβρας και της Ανάλυσης Πινάκων οι οποίοι μας είναι απαραίτητοι για την κατανόηση των κεφαλαίων που ακολουθούν. Παρουσιάζουμε επίσης το μοντέλο pass efficient καθώς και δύο λήμματα δειγματοληψίας που θα χρησιμοποιήσουμε στους αλγορίθμους μας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται δύο αλγόριθμοι για το πρόβλημα του πολλαπλασιασμού πινάκων καθώς επίσης και η χρονική και χωρική πολυπλοκότητα τους. Αρχικά αναλύεται ο βασικός αλγόριθμος πολλαπλασιασμού πινάκων και στη συνέχεια ο αλγόριθμος ElementMatrix. Αναφέρεται επίσης και η αποτελεσματικότητά τους, σε σχέση με το σφάλμα που έχουν ως προς την Ευκλείδεια και τη Frobenius νόρμα, ανάλογα με το αν χρησιμοποιούνται αυθαίρετες ή σχεδόν βέλτιστες πιθανότητες. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται δύο αλγόριθμοι που χρησιμοποιούν τη μέθοδο SVD (παραγοντοποίηση ιδιαζουσών τιμών) προκειμένου να προσεγγίσουν έναν πίνακα. Πιο συγκεκριμένα έχοντας έναν mxn πίνακα Α οι αλγόριθμοι βρίσκουν έναν πίνακα 𝛢�k που είναι μια προσέγγιση χαμηλής τάξης του πίνακα Α. Αρχικά αναλύεται ο προσεγγιστικός αλγόριθμος SVD γραμμικού χρόνου και στη συνέχεια ο προσεγγιστικός αλγόριθμος SVD σταθερού χρόνου καθώς και οι πολυπλοκότητες και τα σφάλματα που έχουν για την Ευκλείδεια και τη Frobenius νόρμα. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται δύο αλγόριθμοι που υπολογίζουν τον πίνακα Α΄ σαν μια προσέγγιση του πίνακα Α. Σε πολλές εφαρμογές ένας mxn πίνακας A αποθηκεύεται στο δίσκο και είναι πολύ μεγάλος για να διαβαστεί από τη μνήμη RAM ή να κάνει πρακτικά υπολογισμούς σε υπεργραμμικό πολυωνυμικό χρόνο σε αυτήν. Επομένως ενδιαφερόμαστε για έναν πίνακα Α΄ που υπολογίζεται εύκολα και είναι προσέγγιση του αρχικού πίνακα Α. Αρχικά αναλύεται ο αλγόριθμος γραμμικού χρόνου CUR και στη συνέχεια ο αλγόριθμος σταθερού χρόνου CUR καθώς και οι πολυπλοκότητες τους και τα σφάλματα που έχουν για την Ευκλείδεια και τη Frobenius νόρμα	el
heal.advisorName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνιος	el
heal.committeeMemberName	Στεφανέας, Πέτρος	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	66 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false