Γεωμετρίες Cayley-Klein του επιπέδου

Καρκαλάκης, Πασχάλης; Karkalakis, Paschalis

dc.contributor.author	Καρκαλάκης, Πασχάλης	el
dc.contributor.author	Karkalakis, Paschalis	en
dc.date.accessioned	2020-10-22T09:42:05Z
dc.date.available	2020-10-22T09:42:05Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/51596
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.19294
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Προβολική γεωμετρία	el
dc.subject	Ευκλείδεια γεωμετρία	el
dc.subject	Υπερβολική γεωμετρία	el
dc.subject	Ελλειπτική γεωμετρία	el
dc.subject	Κωνικές	el
dc.subject	Projective geometry	en
dc.subject	Euclidean geometry	el
dc.subject	Hyperbolic geometry	el
dc.subject	Elliptic geometry	el
dc.subject	Conics	el
dc.title	Γεωμετρίες Cayley-Klein του επιπέδου	el
dc.title	Cayley-Klein geometries on the plane	en
dc.contributor.department	Τομέας Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Γεωμετρία	el
heal.classification	Geometry	en
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-07-01
heal.abstract	Κατά τη διάρκεια του 19ου η γεωμετρία αναπτύχθηκε ευρύτατα. Το πιο γνωστό παράδειγμα είναι η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών, και ειδικά της υπερβολικής γεωμετρίας. Την ίδια περίοδο άρχισε να φαίνεται η επεξηγηματική δύναμη της προβολικής γεωμετρίας. Το 1859 ο Arthur Cayley περιέγραψε έναν τρόπο να επανακτήσουμε την Ευκλείδεια από την προβολική γεωμετρία, χρησιμοποιώντας δύο μιγαδικά σημεία στο άπειρο. Το 1871 ο Felix Klein, γενικεύοντας την εργασία του Cayley, παρείχε έναν τρόπο για να εγκαθιδρύσουμε στο προβολικό επίπεδο όχι μόνο την Ευκλείδεια, αλλά και την υπερβολική και την ελλειπτική γεωμετρία. Η μέθοδος του βασίζεται στην εισαγωγή μιας μετρικής, η οποία ορίζεται στο συμπλήρωμα μιας κωνικής στο προβολικό επίπεδο. Αυτή η προσέγγιση οδηγεί σε μια σειρά νέων γεωμετριών, η οποίες σήμερα καλούνται γεωμετρίες Cayley-Klein. Το θέμα της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μελέτη των γεωμετριών Cayley-Klein του επιπέδου. Αρχίζουμε το πρώτο κεφάλαιο υπενθυμίζοντας μερικές βασικές έννοιες της προβολικής γεωμετρίας, όπως οι ομογενείς συντεταγμένες και ο διπλός λόγος. Το κύριο μέρος του κεφαλαίου είναι η εισαγωγή της μετρικής Cayley-Klein και η ακόλουθη κατηγοριοποίηση των γεωμετριών Cayley-Klein. Κάθε γεωμετρία παρουσιάζεται ξεχωριστά στο δεύτερο κεφάλαιο. Στο τρίτο κεφάλαιο ασχολούμαστε με επιμέρους θέματα, όπως η αρχή του δυϊσμού, τα διδιάστατα μοντέλα του Klein και του Poincare καθώς και μια σύγκριση των γεωμετριών στη βάση του παραλληλισμού σημείων και ευθειών. Στο τέταρτο κεφάλαιο εισάγουμε τους γενικευμένους μιγαδικούς αριθμούς: πρόκειται για τρία σύνολα αριθμών που επεκτείνουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών είναι ένα από αυτά. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο χρησιμοποιούμε αυτούς τους αριθμούς με σκοπό να περιγράψουμε τα σημεία μιας γεωμετρίας Cayley-Klein.	el
heal.abstract	During 19th century geometry underwent great development. The most famous example is the discovery of non-Euclidean geometries, particularly hyperbolic geometry. At the same time, the explanatory power of projective geometry began to emerge. In 1859 Arthur Cayley described a way of recovering Euclidean from projective geometry, by using two complex points at infinity. In 1871, Felix Klein, generalising the work of Cayley, provided a way of establishing in the projective plane not only Euclidean, but also hyperbolic and elliptic geometry. His method is based on the introduction of a metric, defined on the complement of a conic section in the projective plane. In fact, this approach leads to a whole new class of geometries, which are now called Cayley-Klein geometries. This diploma thesis is about the study of Cayley-Klein geometries on the plane. We begin the first chapter by reminding a few basic projective notions, such as homogeneous coordinates and cross ratio. The main part of the first chapter is the introduction of the Cayley-Klein metric and the subsequent classification of Cayley-Klein geometries. Each one of the these geometries is presented separately in the second chapter. In the third chapter we discuss more specific topics, such as the principle of duality, the two-dimensional models of Klein and Poincare and a comparison on the basis of parallelism of points and lines. In the fourth chapter we introduce generalized complex numbers: these are three sets of numbers which extend the set of real numbers. The set of complex numbers is one of them. In the fifth, and final, chapter we use these types of numbers in order to describe the points of a Cayley-Klein geometry.	el
heal.advisorName	Κοντοκώστας, Δημήτριος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γεώργιος	el
heal.committeeMemberName	Ψαρράκος, Παναγιώτης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	81 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false