Μονότονοι τελεστές και εφαρμογή σε προβλήματα συνοριακών τιμών

Σκαρτσίλας, Παναγιώτης

dc.contributor.author	Σκαρτσίλας, Παναγιώτης	el
dc.date.accessioned	2020-12-01T07:59:49Z
dc.date.available	2020-12-01T07:59:49Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/52111
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.19809
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Sobolev	en
dc.subject	Τελεστές	el
dc.subject	Μονότονοι	el
dc.subject	Ανάλυση	el
dc.subject	Διαφορικές	el
dc.title	Μονότονοι τελεστές και εφαρμογή σε προβλήματα συνοριακών τιμών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.language	el
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-10-02
heal.abstract	Οι τελεστές αποτελούν ένα απο τα βασικότερα εργαλεία της συναρτησιακής ανάλυσης. Πρό-κειται απεικονίσεις οι οποίες μας επιτρέπουν να μεταφέρουμε συναρτήσεις από έναν χώροσε έναν άλλο, σεβόμενοι πάντα την εκάστοτε δομή τους. Οι τελεστές υπακούν σε διάφορεςιδιότητες όπως το να είναι γραμμικοι, φραγμένοι, συνεχείς κλπ. ́Ετσι και η μονοτονία είναιμια χαρακτηριστική ιδιότητα των τελεστών την οποία μάλιστα μπορούμε να εκμεταλευτούμεκαι να εξάγουμε συμπεράσματα στο πεδίο της μελέτης των μερικών διαφορικών εξισώσεων.Σκοπός μας στην παρούσα εργασία είναι, δοθείσας μιας μη γραμμικής μερικής διαφορικήςεξίσωσης, να μελετήσουμε τον τρόπο που μία ισοδύναμη εξίσωση μονότονων τελεστών μπορείνα μας οδηγήσει στο ότι το αρχικό πρόβλημα είναι μοναδικά επιλύσιμο.Για την επίλυση του προβλήματος δεν θα αναζητήσουμε μία κλασική λύση όπως συνηθίζεται.Θα ασχοληθούμε με την έννοια της ασθενούς λύσεως και κατ ́ επέκτασιν με την έννοια τηςασθενούς παραγώγου. Και οι δύο αυτές έννοιες αποτελούν εργαλεία των χώρωνSobolevτουςοποίους θα ορίσουμε και θα διατυπώσουμε μερικές από τις βασικές ιδιότητές τους.Προκειμένου να εφαρμόσουμε τους μονότονους τελεστές, θα διατυπώσουμε και θα μελετή-σουμε το θεώρημαMinty-Browder, κομβικό θεώρημα στη θεωρία τους. Το θεώρημα αποδει-κνύει πως η εξίσωση των τελεστώνAu=bείναι μοναδικά επιλύσιμη και επιπλέον ότι με τηβοήθεια της μεθόδουGalerkinμπορούμε να βρούμε μια ακολουθία λύσεων που συγκλίνειστη λύση της παραπάνω εξίσωσης.Φτάνοντας στο τελικό κομμάτι της εργασίας, θα δούμε πως με χρήση της μεθόδουGalerkinκαι με την άμεση εφαρμογή του θεωρήματοςMinty-Browderείναι εφικτό να λύσουμε μιαμη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση ελλειπτικού τύπου.	el
heal.abstract	Operators are one of the most crucial topics of functional analysis. They are mappingswhich allow us to transfer functions between two spaces. Operators are defined undersome properties such as linearity, continuity, boundness etc. Monotonicity is one of thoseproperties too, which can take advantage of and draw conclusions in the field of partialdefferential equations. Our main objective on this thesis is, given a quasi-linear partialdifferential equation, to study the way an equivalent operator equation can be used toshow that the main problem has a unique solution.To solve that problem, instead of seeking regular solutions we will introduce the solutionsin the weak sense and the weak derivatives. These two are the main tools of Sobolevspaces which are going to define, along with some of their most important properties.In order to apply the monotone operators, we will formulate the theorem of Minty-Browderwhich is critical in the theory of monotone operators. The theorem proves that the operatorequationAu=bhas a unique solution and with the use ofThe Galerkin Method, we canfind a sequence converging in that solution.Finally, we will see how we can solve an elliptic quasi-linear partial deifferential equationusing the Galerking method and applying the Minty-Browder theorem.	en
heal.advisorName	Γιαννακάκης, Νίκος	el
heal.committeeMemberName	Σμυρλής, Γιώργος	el
heal.committeeMemberName	Χαραλαμπόπουλος, Αντώνης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	false
heal.fullTextAvailability	false