Probabilistic description of responses of nonlinear dynamical systems under colored Gaussian excitation

Mavromatis, Ilias; Μαυρομάτης, Ηλίας

dc.contributor.author	Mavromatis, Ilias	en
dc.contributor.author	Μαυρομάτης, Ηλίας	el
dc.date.accessioned	2020-12-03T09:55:37Z
dc.date.available	2020-12-03T09:55:37Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/52209
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.19907
dc.rights	Αναφορά Δημιουργού-Μη Εμπορική Χρήση-Όχι Παράγωγα Έργα 3.0 Ελλάδα	*
dc.rights.uri	http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/	*
dc.subject	Uncertainty quantification	en
dc.subject	Stochastic dynamics	en
dc.subject	Nonlinear random differential equations	en
dc.subject	Generalized Fokker-Planck equations	en
dc.subject	Colored noise excitation	en
dc.title	Probabilistic description of responses of nonlinear dynamical systems under colored Gaussian excitation	en
dc.title	Πιθανοθεωρητική περιγραφή αποκρίσεων μη-γραμμικών δυναμικών συστημάτων υπό χρωματισμένη Γκαουσιανή διέγερση	el
heal.type	bachelorThesis
heal.classification	Ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας	el
heal.classification	Στοχαστική δυναμική	el
heal.classification	Μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις,	el
heal.classification	Γενικευμένες εξισώσεις Fokker-Planck	el
heal.classification	Χρωματισμένος θόρυβος	el
heal.language	en
heal.access	free
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-05
heal.abstract	The determination of the probabilistic structure of the response of nonlinear dynamical systems excited by general stochastic noise, is a question of the utmost importance for numerous applications in structural dynamics, statistical physics, material sciences, environmental systems and elsewhere, thereby constituting the basis of uncertainty quantification. In many cases, the random excitations have to be considered smoothly-correlated (colored) noises. Hence, the complete probabilistic structure of the responses is defined by an infinite hierarchy of probability density functions (pdfs). Abandoning the assumption of white-noise excitation has profound effects on the needed theoretical background, since the Markovian character of responses is lost, and thus, all standard tools (e.g. Itô Calculus and Fokker-Planck-Kolmogorov equation) are not applicable. An alternative, efficient approach is to derive pdf evolution equations corresponding to the system. This thesis aims at extending a methodology used to develop evolution equations for the response pdf of nonlinear dynamical systems subjected to colored Gaussian excitation in order to account for second-order pdfs corresponding to such systems. Following this approach, we commence with representing the sought-for pdf as the average of a random delta function, i.e. the delta projection method. Then, by carrying out simple algebraic manipulations a stochastic alternative of the Liouville equation is obtained. This equation, called Stochastic Liouville Equation (SLE), is non-closed due to terms depending on both the response and the excitation of the examined system, and is further evaluated by employing an appropriate correlation splitting. The said correlation splitting is performed via the appropriate Novikov-Furutsu theorem for which a collection of novel extensions as well as the manner in which they can be formulated and proven is presented in Chapter 2. In Chapter 3 and in particular section 3.1, the main steps of these methodology are outlined for the response pdf of a nonlinear random differential equation (RDE) under additive, colored Gaussian excitation in order to present in a comprehensive manner the foundation upon which the derivation of second-order pdf evolution equations is established. Moreover, a more intricate case for the response pdf of a RDE subject to both additive and multiplicative excitation is presented in section 3.2. The first major result of this thesis is produced in Chapter 4, in which evolution equations for second-order pdfs are derived, namely for the one-time, joint response-excitation(s) pdfs. More specifically, in section 4.1, the case of a nonlinear, additively excited RDE is considered while in section 4.2, we examine the case of a both additively and multiplicatively excited RDE. Subsequently, in Chapter 5, for the former case, two-time response pdf evolution equations are formulated. Last, in Chapter 6, once for the case of a nonlinear, additively excited RDE, evolution equations for the two-time pdf of the response and its derivative are derived. In all the aforementioned chapters, we examine the potency of this methodology for a linear, additively excited RDE and see if the derived results correspond to the correct ones, obtained using other approaches.	en
heal.abstract	Ο προσδιορισμός της πιθανοθεωρητικής δομής της απόκρισης μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων που διεγείρονται από γενικό στοχαστικό θόρυβο είναι ένα ερώτημα ύψιστης σημασίας για πληθώρα εφαρμογών σε προβλήματα δομικής μηχανικής, στατιστικής φυσικής, επιστήμης υλικών, περιβαλλοντικά συστήματα και αλλού, καθιστώντας το, έτσι τη βάση της ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας. Σε πολλές περιπτώσεις, οι τυχαίες διεγέρσεις πρέπει να θεωρούνται ομαλώς συσχετισμένοι (χρωματισμένοι) θόρυβοι. Συνεπώς, η πλήρης πιθανοθεωρητική δομή των αποκρίσεων καθορίζεται από μια άπειρη ιεραρχία συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας (σππ). Η εγκατάλειψη της υπόθεσης για διέγερση λευκού θορύβου έχει σημαντικές επιπτώσεις στο απαιτούμενο θεωρητικό υπόβαθρο, καθώς ο Μαρκοβιανός χαρακτήρας των αποκρίσεων χάνεται και έτσι όλα τα βασικά εργαλεία (π.χ. Itô Άλγεβρα and Fokker-Planck-Kolmogorov εξίσωση) δεν είναι εφαρμόσιμα. Μια εναλλακτική, αποτελεσματική πρακτική είναι να εξαχθούν εξελικτικές εξισώσεις σππ που αντιστοιχούν στο σύστημα. Η παρούσα διπλωματική εργασία στοχεύει στη διεύρυνση μια μεθοδολογίας που χρησιμοποιείται για την παραγωγή εξελικτικών εξισώσεων για τη σππ της απόκρισης μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων που υπόκεινται σε χρωματισμένη Γκαουσιανή διέγερση, ούτως ώστε να συμπεριλαμβάνει δευτέρας τάξης σππ που αντιστοιχούν σε τέτοια συστήματα. Ακολουθώντας αυτή τη προσέγγιση, αρχίζουμε με την αναπαράσταση της αναζητούμενης σππ ως τη μέση τιμή μια τυχαίας συνάρτησης δέλτα, δηλαδή τη μέθοδο δέλτα-προβολών. Έπειτα, εκτελώντας απλούς αλγεβρικούς χειρισμούς ένα στοχαστικό ανάλογο της εξίσωσης Liouville εξάγεται. Αυτή η εξίσωση, που ονομάζεται στοχαστική εξίσωση Liouville (ΣΕL) είναι μη-κλειστή λόγω όρων που εξαρτώνται τόσο από την απόκριση όσο και από τη διέγερση του εξεταζόμενου συστήματος, και αναλύονται εφαρμόζοντας το κατάλληλο θεώρημα Novikov Furutsu για το οποίο μια συλλογή από νέες επεκτάσεις, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο αυτές σχηματίζονται και αποδεικνύονται, παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 2. Στο Κεφάλαιο 3, και πιο συγκεκριμένα στην Ενότητα 3.1, τα βασικά βήματα αυτής της μεθοδολογίας περιγράφονται για τη σππ της απόκρισης μιας μη γραμμικής, τυχαίας διαφορικής εξίσωσης (ΤΔΕ) υπό αθροιστική, χρωματισμένη Γκαουσιανή διέγερση για να παρουσιάσουμε με ένα σαφή τρόπο τη βάση πάνω στην οποία η εξαγωγή δευτέρας τάξεως εξελικτικών εξισώσεων σππ θεμελιώνεται. Επιπλέον, μια πιο περίπλοκη περίπτωση για τη σππ της απόκρισης μιας ΤΔΕ που υπόκειται και σε αθροιστική και σε πολλαπλασιαστική διέγερση παρουσιάζεται στην Ενότητα 3.2. Το πρώτο σημαντικό αποτέλεσμα αυτής της διπλωματικής εργασίας παράγεται στο Κεφάλαιο 4, στο οποίο εξάγονται εξελικτικές εξισώσεις για σππ δευτέρας τάξης, συγκεκριμένα για τις ενός χρόνου, από κοινού σππ απόκρισης-διέγερσης (διεγέρσεων). Ειδικότερα, στην Ενότητα 4.1, εξετάζεται η περίπτωση μιας μη-γραμμικής, προσθετικά διεγερμένης ΤΔΕ, ενώ στην Ενότητα 4.2 εξετάζουμε την περίπτωση μιας μη-γραμμικής, προσθετικά και πολλαπλασιαστικά διεγερμένης ΤΔΕ. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 5, για την πρώτη περίπτωση, διατυπώνονται εξελικτικές εξισώσεις για τη σππ της απόκρισης σε δύο χρόνους. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, εκ νέου για τη περίπτωση της μη-γραμμικής, προσθετικά διεγερμένης ΤΔΕ, εξάγονται εξελικτικές εξισώσεις για τη δύο χρόνων σππ της απόκρισης και της παραγώγου της. Σε όλα τα προαναφερθέντα κεφάλαια, εξετάζουμε την αποτελεσματικότητα αυτής της μεθοδολογίας για μια γραμμική, προσθετικά διεγερμένη ΤΔΕ και βλέπουμε εάν τα προκύπτοντα αποτελέσματα αντιστοιχούν στα σωστά, όπως αυτά λαμβάνονται χρησιμοποιώντας άλλες προσεγγίσεις.	el
heal.advisorName	Αθανασούλης, Γεράσιμος Α.	el
heal.advisorName	Athanassoulis, Gerassimos A.	en
heal.committeeMemberName	Μπελιμπασάκης, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Σπύρου, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Belibassakis, Kostas	en
heal.committeeMemberName	Spyrou, Konstantinos	en
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών. Τομέας Ναυτικής και Θαλάσσιας Υδροδυναμικής. Εργαστήριο Ναυτικής και Θαλάσσιας Υδροδυναμικής	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.numberOfPages	139 σ.	el
heal.fullTextAvailability	false