Μέθοδοι υποχώρων krylov για την αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων

Μαμαλάκη, Γεωργία; Mamalaki, Georgia

dc.contributor.author	Μαμαλάκη, Γεωργία	el
dc.contributor.author	Mamalaki, Georgia	en
dc.date.accessioned	2020-12-22T09:43:16Z
dc.date.available	2020-12-22T09:43:16Z
dc.identifier.uri	https://dspace.lib.ntua.gr/xmlui/handle/123456789/52656
dc.identifier.uri	http://dx.doi.org/10.26240/heal.ntua.20354
dc.rights	Default License
dc.subject	Αραιά γραμμικά συστήματα	el
dc.subject	Μέθοδοι krylov	el
dc.subject	Μέθοδος συζυγών κλίσεων	el
dc.subject	Γενικευμένη μέθοδος ελαχίστου υπολοίπου,	el
dc.subject	Matlab	el
dc.subject	Sparse linear systems	en
dc.subject	Krylov methods	en
dc.subject	Conjugate gradient method	en
dc.subject	Generalized minimal residual method	en
dc.subject	Matlab	en
dc.title	Μέθοδοι υποχώρων krylov για την αριθμητική λύση γραμμικών συστημάτων	el
dc.contributor.department	Μαθηματικών	el
heal.type	bachelorThesis
heal.secondaryTitle	Krylov subspace methods for the numerical solution of linear systems	en
heal.classification	Μαθηματικά	el
heal.classification	Mathematics	en
heal.classification	Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα	el
heal.classification	Numerical Linear Algebra	en
heal.language	el
heal.access	campus
heal.recordProvider	ntua	el
heal.publicationDate	2020-02-26
heal.abstract	Σκοπός της παρούσης διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση επαναληπτικών μεθόδων για την επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων. Οι επαναληπτικές μέθοδοι, οι οποίες θα παρουσιαστούν, ανήκουν στην κατηγορία των μεθόδων τύπου Krylov. Αρχικά, παρουσιάζεται το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο για την κατανόηση και ανάλυση των μεθόδων επίλυσης αραιών γραμμικών συστημάτων, οι οποίες αναλύονται στη συνέχεια της διπλωματικής εργασίας. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες της Γραμμικής και Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας σχετικά με τα διανύσματα, τους πίνακες καθώς και τις νόρμες τους. Ακόμη, γίνεται μια εισαγωγή σε διανυσματικούς χώρους καθώς και στους υπόχωρους Krylov. Εν συνεχεία, στο κύριο μέρος της παρούσας διπλωματικής εργασίας παρουσιάζονται αναλυτικά επαναληπτικές μέθοδοι που βασίζονται σε υπόχωρους Krylov, για την επίλυση αραιών γραμμικών συστημάτων, δίνοντας βάση σε δύο θεμελιώδεις μεθόδους, τη Μέθοδος Συζυγών Κλίσεων (CG) και τη Γενικευμένη Μέθοδο Ελαχίστου Υπολοίπου (GMRES). Ειδικότερα, στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία Μέθοδος Προβολής, η Μέθοδος Απότομης Καθόδου (SD) και ακολούθως η Μέθοδος Συζυγών Κλίσεων, καθώς και μια παραλλαγή αυτής, η Μέθοδος Συζυγών Κλίσεων με Προρύθμιση (PCG). Περαιτέρω, στο τρίτο κεφάλαιο της παρούσης διπλωματικής εργασίας, παρουσιάζεται η Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου, ξεκινώντας με την ανάλυση του αλγορίθμου \en{Arnoldi}, ο οποίος χρησιμοποιείται για την κατασκευή ορθοκανονικών διανυσμάτων και είναι απαραίτητος για την ανάλυση της συγκεκριμένης μεθόδου. Παράλληλα, στο ως άνω κεφάλαιο, παρουσιάζεται η Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου, καθώς και δύο παραλλαγές της, οι οποίες είναι η Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου με επανεκκίνηση (GMRES(k)) και η Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστου Υπολοίπου με Προρύθμιση (Preconditioned GMRES). Τέλος, εφαρμόζοντας το υπολογιστικό εργαλείο Matlab, παρουσιάζουμε κάποια αριθμητικά παραδείγματα αραιών γραμμικών συστημάτων καθώς και τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την υλοποίηση των βασικών αλγορίθμων των μεθόδων που παρουσιάστηκαν.	el
heal.abstract	The aim of this thesis is the analysis of some iterative methods for solving sparse linear systems. The iterative methods we present belong to the category of Krylov methods. Initially, the necessary theoretical background is presented for understanding and analyzing the methods of solving sparse linear systems, which are analyzed in this thesis. Specifically, some basic concepts of the Linear and Numerical Linear Algebra are presented about vectors, tables and their norms. There's also an introduction in vector spaces as well as in Krylov subspaces. Subsequently, in the main part of this diplomatic thesis, iterative methods based on Krylov subspaces are presented in detail to resolve sparse linear systems, based on two fundamental methods, the Conjugate Gradient Method (CG) and the Generalized Minimal Residual Method (GMRES). In particular, the second chapter presents a Projection Method, the Steepest Descent Method (SD), followed by the Conjugate Gradients Method, and a variation of it, the Preconditioned Conjugate Gradient Method (PCG). Furthermore, in the third chapter of this diplomatic thesis, the Generalized Minimal Residual Method is presented, starting with the analysis of the Arnoldi algorithm, which is used to construct orthonormal vectors and is necessary for the analysis of this method. At the same time, two variations of this method, which are the Generalized Minimal Residual Method with restart (GMRES(k)) and the Preconditioned Generalized Minimal Residual Method (Preconditioned GMRES), are presented in this chapter. Finally, using the Matlab computing tool, we present some numeric examples of sparse linear systems and also the results of implementing the basic algorithms of the presented methods.	en
heal.advisorName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Χρυσαφίνος, Κωνσταντίνος	el
heal.committeeMemberName	Κοκκίνης, Βασίλειος	el
heal.committeeMemberName	Κολέτσος, Ιωάννης	el
heal.academicPublisher	Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών. Τομέας Μαθηματικών	el
heal.academicPublisherID	ntua
heal.fullTextAvailability	false